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「R3 のベクトル x =t(x1, x2, x3) で、x1+x2+x3=0を満たすもの全部の作る部分空間をLとする。
このとき、Lの2組の基底S1={(1,1,2),(1,2-3)}、S2={(1,0,-1)、(0,2,-2)}が部分空間 L の基底であることを確かめよ。」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか。
詳しい方がいましたら解答お願いします。

A 回答 (2件)

t は転置かな?



基底であることを確かめるには、いくつか方法があります。
(1) その基底上の成分表示が一意であることを、連立一次方程式を解いて確認する。
(2) 基底の各メンバーが目的の空間の元であり、かつ次元が合っていることを確認する。

S1 は、 (1,1,2) が L の元でないからダメですね。

S2 は、 (1,0,-1), (0,2,-2) が L の元であることが x1+x2+x3=0 へ代入すれば解ります。
(1,0,-1) と (0,2,-2) が一次独立であることも x(1,0,-1)+y(0,2,-2)=0 を解けば解ります。
あとは、 L が 2次元空間であることを確認すれば (2) を行ったことになりますね。
x1, x2 を任意の実数として x1+x2+x3=0 で x3 を決めれば
L の元が一意に決まりますから、 L は実 2次線形空間です。
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tは何? 定数係数ですか?


S1は{(1, 1, -2),(1, 2, -3)} の書き間違い?
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