直線の方程式の証明

i) x1≠x2のとき
m=(y2-y1)/(x2-x1)　これを
y-y1=m(x-x1)　に代入して
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) (1)

ii) x1=x2のとき　x1=x　で、これは

(1)でx1=x2、y1≠y2とおいて得られるとのことです。

質問
x1=x2のときの証明にx1≠x2で成り立つ式(1)を
使っても良いのでしょうか？参考書ではそうなっています。また、x1=x　が直線の方程式の証明とは納得
いきません。
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/06/09 01:45

＞x1=xが直線であること

これは　x=x1(定数)と書いたほうが解りやすいでしょう。yが何であってもxは定数だからy軸に平行な直線。

＞(x1=x2のときの証明にx1≠x2で成り立つ式(1)を使っっても良いのでしょうか？

(1)を使ったのではなく、 x1≠x2のとき出てきた結果の
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)(1)
がx1=x2のときにも通用するという意味

i) x1≠x2のときも
ii) x1=x2のときも
どんな場合でも
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) (1)
という一つの式で表されるという意味です。

実際
i) x1≠x2のときは(1)は
(y-y1)=((y2-y1)/(x2-x1))・(x-x1)
となり

ii) x1=x2のとき(1)は
0・(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)より
0=(y2-y1)(x-x1)
y2≠y1より　x=x1

(なぜy2≠y1かというとx1=x2のときの話でy2=y1であれば2点を通る直線にならない。1点になる。)

No.1 回答者： postro 回答日時： 2006/06/09 01:10

x1=x2のときは、求める直線はy軸に平行な直線になるのは納得ですか？

そしてその直線の方程式は　x1=x　であることも納得ですか？
それがわかった後に、
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) (1)
をながめてみると、左辺は０（なぜなら(x2-x1)=0)なので
右辺はy1≠y2ならば (x-x1)=0 となり、求める直線の方程式　x1=x　と一致します。
結局 x1≠x2のときもx1=x2のときも
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) (1)
が求める直線の方程式だ。ということです。