線型空間 V の基底

線型空間 V の基底を { a, b, c } とする．次に与える V のベクトルの組が V の基底になり得るかど
うかを論ぜよ．
(1) { 2a + c, b − c, a + b − 3c }
(2) { a − b, a + 3c, a + b + 6c }
(3) { a − 3c, b + 2c }
(4) { a + b, b + 3c, a − 2c, 4a + 2b − 5c }

論ぜよとなると難しいのですがどういった具合の解答になるものなのでしょうか。。？

お詳しい方よろしくお願いいたします

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/04 08:42

(3), (4) は既定の数が元の既定の数=3 と合わないので　

NG

(1) は
新しい基底(縦ベクトル)を並べたもの (a', b', c')=
(a, b, c)
×
2 0 1
0 1 1
1 -1 -3

これはランク3(正則)同士の行列の掛け算だから
a', b', c'は一次独立で OK

(2) は
新しい基底(縦ベクトル)を並べたもの (a', b', c')=
(a, b, c)
×
1 1 1
-1 0 1
0 4 6

で
1 1 1
-1 0 1
0 4 6
は正則じゃないから、a', b', c'　は一次独立じゃないので
NG

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/03 13:56

(1)

C={2a+c,b-c,a+b-3c}

A
=
(2,0.,1.)
(0,1.,1.)
(1,-1,-3)

B=(a,b,c)

とすると

BA=C

|A|=2(-3+1)-1=-5≠0
だから
Aは正則だからA^(-1)が存在するから

B=CA^(-1)
だから
Cは基底になり得る

(2)
{a−b,a+3c,a+b+6c}

x(a-b)+y(a+3c)+z(a+b+6c)=0
(x+y+z)a+(z-x)b+3(y+2z)c=0
x+y+z=0
z-x=0
y+2z=0
z=x
2x+y=0
y=-2x
x(a-b)-2x(a+3c)+x(a+b+6c)=0
a-b-2(a+3c)+a+b+6c=0
a+b+6c=2(a+3c)-(a-b)
∴
{a−b,a+3c,a+b+6c}
は
線形独立でないから
基底になり得ない

(3)
Vは3次元だから
要素数2の
{a−3c,b+2c}
は
基底になり得ない

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/03 11:20

(1)

C={2a+c,b-c,a+b-3c}

A
=
(2,0,1.)
(0,1,-1)
(1,1,-3)

B=(a;b;c)

とすると

AB=C

|A|=2(-3+1)-1=-5≠0
だから
Aは正則だからA^(-1)が存在するから

B=A^(-1)C
だから
Cは基底になり得る

No.2 回答者： rinkun 回答日時： 2022/04/03 10:31

ベクトルの組が基底⇔次のa),b)が成り立つ

a) ベクトルの組が一次独立
b) 任意のベクトルがそのベクトルの組の線形結合で表せる

(1),(2)はa),b)の成否をちゃんと示すしかないでしょう。
(3),(4)は次元で議論できますね。(3)は数が足りないのでb)が成り立たない。(4)は数が多いのでa)が成り立たない。まあ半端な知で次元を議論するより(1),(2)と同じようにa),b)の成否を計算で示した方が正確かもしれませんけど。

No.1 回答者： titeiking2014 回答日時： 2022/04/03 10:12

一次独立かどうかと、次元（個数）を考えればいいのではないでしょうか

簡単にいうと空間V上の点を基底ベクトルの線形和であらわせることを証明すればいい問題です。