線形代数 部分空間 基底 次元

V ⊂R^nで、VはR^nの部分空間、dim(V)=mとします。
このとき1次独立なm個の、すべてVに含まれる
a[1], a[2], …, a[m]
をとってきます。
これらのm個のaはVの基底となることを示したいのですが、これがわかりません。教えていただきたいです。(V={0}のときはそもそも基底取れないので大丈夫です。)

基底の延長に関する定理は使わないでほしいです。そもそもこれを示したいと思ったのは基底の延長の定理では存在はいえていますが、このように次元がわかって次元の分だけ1次独立なものをとってきたときにそれらが基底といえるのかすっきり理解できずに疑問に思ったからです。もし基底の延長の定理が必要ならこのようなときにも成り立つ理由を教えてほしいです。

(一応自分でも考えてみて、1次独立なことはわかるのでV=<a[1], a[2], …, a[m]>をいえれば良いので、それを否定して a[m+1] ∉ <a[1], a[2], …, a[m]>かつa[m+1] ∈V のようなa[m+1]をとって矛盾を導こうとしたのですがよくわかりませんでした。)

質問者からの補足コメント

• 基底の延長の定理や
  R^nに含まれるn個の1次独立なものをとってきたとき、それらはR^nの基底みたいなのは
  勉強したのですが質問のようなのは今読んでいる周辺ではなかったです。もう少し先までさがしてみます。

    補足日時：2023/01/27 13:29

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/26 08:27

>斎藤正彦「船型代数入門」

おっと
斎藤正彦「線型代数入門」です。

ちょっと表記法が古いけど、
各所で参照される名著なんで、
ひとつもっとくと役立ちます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/25 08:22

教科書に載ってないですか？

手元のだと
斎藤正彦「船型代数入門」４章§3「基底および次元」とか。
割と分量あるので、ここでさらっとかくのは大変。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/24 10:04

●基底であるとはどういうことか。

●dim(V)=m とはどういうことか。
を確認するのが第一歩でしょうね。
任意のb[1], b[2], …, b[m]が基底なら、a[1], a[2], …, a[m]はどれもb[1], b[2], …, b[m]の線形結合で表せる。このとき、「a[1], a[2], …, a[m]が一次独立である、ということが、b[1], b[2], …, b[m]をどれもa[1], a[2], …, a[m]の線形結合で表せる、ということの十分条件」を証明する。