一様連続の証明について

一様連続を証明する際に数列を用いて議論されます
数列を用いないで議論はできないのでしょうか？
以下は数列を用いないで考えてみた方法ですが、やっぱり間違いなのでしょうか？

定理
fがI=[a,b]で連続だとするとfはIで一様連続

証明
fがIで一様連続でないとすると
∃ε>0,∀δ>0,∃x1,x2∈I,( |x1-x2|<δ ∧ |f(x1)-f(x2)|≧ε )

一方fはIで連続なので
∀ε'>0,∃δ'>0,∀x1',x2'∈I,(|x1'-x2'|<δ' → |f(x1')-f(x2')|<ε)
=∀ε'>0,∃δ'>0,∀x1',x2'∈I,(￢|x1'-x2'|<δ' ∨ |f(x1')-f(x2')|<ε')

今ここでε'=ε,δ<δ',(x1',x2')=(x1,x2)の場合を考えると
∃ε>0,∃δ'>0,∃x1,x2∈I,
( |x1-x2|<δ' ∧ |f(x1)-f(x2)|≧ε )∧(￢|x1-x2|<δ' ∨ |f(x1')-f(x2')|<ε)
で矛盾

質問者からの補足コメント

• 本当ですね
  確かに定義が間違っていました
  正しい連続の定義はこうでしょうか
  ∀ε'>0,∃δ'>0,∀x2'∈I,(|x1'-x2'|<δ' → |f(x1')-f(x2')|<ε)

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/04/22 21:57

• じゃあこうでしょうか
  ∀ε'>0,∀x2'∈I,∃δ'>0,(|x1'-x2'|<δ' → |f(x1')-f(x2')|<ε)

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/04/22 22:32

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/22 22:55

う～ん、論理記号は使い方があまりよくわかりませんが、

言葉で言うと
Ｉで連続とは、Ｉの各x2'について、
ε'>0にたいしてδ'>0が存在し（これはε'だけでなくx2'にもよります）
|x1'-x2'|<δ' → |f(x1')-f(x2')|<ε　ということです。

この回答へのお礼

そういうことが表したかったんです
分かり辛くてすみませんでした
丁寧に解説していただいてありがとうございました

お礼日時：2017/04/22 23:04

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/22 22:29

それも一様連続の定義ですね。

というのはε'>0に対してδ'>0がx2'がＩのどの値にも
無関係に定まって、以降の不等式が成立つと主張しているからです。
Ｉにおける各点連続性ではδ'>0が、x2'がＩのどの値をとるかにもよります。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/22 21:48

主さんの論法のおかしいところは、

”　fはIで連続なので
∀ε'>0,∃δ'>0,∀x1',x2'∈I,(|x1'-x2'|<δ' → |f(x1')-f(x2')|<ε)　”　です。

これはＩにおける連続の定義ではなくて、これから証明しようとする一様連続の定義です。