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yah○○の知恵ふくろに以下の質問がありました

最小化:f(x1,x2)=(x1)^2+(1/3)(x2)^2
制 約:g(x1,x2)=-x1-x2+1<0
という制約条件が1つの問題であれば、ψ=(-x1-x2+1)^2とすることで拡張目的関数が
F(x1,x2,r)=f(x1.x2)+rψ(x1,x2)
=(x1)^2+(1/3)(x2)^2+r(-x1-x2+1)^2 ただし(-x1-x2+1<0である時)
となり、極小解を求めると、制約を満足していない領域においては
dF/dx1=(1+r)x1+rx2-r=0
dF/dx2=3rx1+(1+3r)x2-3r=0
より
x1=r/(4r+1)
x2=3r/(4r+1)
r=∞であるので、x1=1/4 x2=3/4と求まります。
ところで制約条件が複数個になった場合はどのようにといたらいいのでしょうか。
----------------------------------------------------------------
回答は、、、
制約条件が複数個 g1(x1,x2) , g2(x1,x2) , gn(x1,x2) になったとしましょう。
すると、拡張目的関数は
F(x1,x2,r)=f(x1.x2)+r1ψ1(x1,x2)+r2ψ2(x1,x2)+ … +rnψn(x1,x2)
となります。
そして、r1,r2,…,rn のすべての可能性を試せばOKです。
もし制約条件が2つなら、
(1) r1=0 , r2=0
(2) r1=0 , r2→∞
(3) r1→∞ , r2=0
(4) r1→∞ , r2→∞
の4つを試せばOKです。
しかし、この方法では、制約条件が10個になると1024回も試さなければならなくなります。
でも、実際にそうする必要はありません。
一定の規則のもとに実行すれば、それより少ない回数で済みます。
----------------------------------------------------------------
ここで質問ですが一定の規則とはどういった規則でしょうか?
また、ペナルティ係数は無限大(∞)が理想ですが、実際に制約を複数個有する問題において、複数個のペナルティ係数はそれぞれ違った値の∞に近い値にしないといけないのでしょうか?
違う値の係数値にしないといけないのであれば、なぜそれぞれ違った係数値にしないといけないのか教えてください。

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目的 関数」に関するQ&A: 目的関数

A 回答 (1件)

転載されている質問と回答が色々とおかしいので,


質問者さんの質問に答えるのが非常に難しくなっています.
(具体的には……
 (1) 質問の解き方が悪い:間違っているし,論理的に誤解している.
 (2) 解答もそれに引きずられて論理的に変なことを書いている)

なので,質問に対する解答はできないのですが,要点だけ述べると
 (1) 回答にある拡張目的関数の定義が悪い(r1 = ... = rn としてよい).
 (2) 従って r の増加列は 1 つだけ取れば十分.
です.

もちろん,もっと違った部分で注意しないといけないことがあり,
場合分けなどと書かれている部分はそちらで扱う必要があるのですが,
それは,正しく質問にある問題を解けば納得できるはずです.

#もし,質問にある解き方が変だ,ということが分からないのであれば,
#その問題の解き方が分からない,という質問をしたほうが良いかもしれません.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
質問のように制約が複数個になった場合の解放が分からないということと、
回答のr1…rnと無限大にする感じがよく分からなかったので質問させてもらいました。

制約が一つの場合(質問にある)の問題はといたのですが、やはり制約が複数個になった場合の解放が分からないので教えていただければ幸いです。

補足日時:2009/04/27 10:00
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Q制約つき最適化問題

最小化:f(x1,x2)=(x1)^2+(1/3)(x2)^2
制 約:g(x1,x2)=-x1-x2+1<0
という制約条件が1つの問題であれば、ψ=(-x1-x2+1)^2とすることで拡張目的関数が
F(x1,x2,r)=f(x1.x2)+rψ(x1,x2)
=(x1)^2+(1/3)(x2)^2+r(-x1-x2+1)^2 ただし(-x1-x2+1<0である時)
となり、極小解を求めると、制約を満足していない領域においては
dF/dx1=(1+r)x1+rx2-r=0
dF/dx2=3rx1+(1+3r)x2-3r=0
より
x1=r/(4r+1)
x2=3r/(4r+1)
r=∞であるので、x1=1/4 x2=3/4と求まります。
---------------------------------------------------------------

以前に制約が複数個にしたらどうなるのか質問させてもらったんですが、拡張目的関数を編微分するということは理論的にどういうことを意味しているのでしょうか。
単純に目的関数を各変数について編微分すると局所部分がわかるということなのですが、ペナルティ関数項が入った場合も同じようなことがいえるのでしょうか?

最小化:f(x1,x2)=(x1)^2+(1/3)(x2)^2
制 約:g(x1,x2)=-x1-x2+1<0
という制約条件が1つの問題であれば、ψ=(-x1-x2+1)^2とすることで拡張目的関数が
F(x1,x2,r)=f(x1.x2)+rψ(x1,x2)
=(x1)^2+(1/3)(x2)^2+r(-x1-x2+1)^2 ただし(-x1-x2+1<0である時)
となり、極小解を求めると、制約を満足していない領域においては
dF/dx1=(1+r)x1+rx2-r=0
dF/dx2=3rx1+(1+3r)x2-3r=0
より
x1=r/(4r+1)
x2=3r/(4r+1)
r=∞であるので、x1=1/4 x2=3/4と求まります。
----------------------------------------------------...続きを読む

Aベストアンサー

#1です。
まだ、閉じてみえなかったんですね。

 Penalty Optimization(条件付最適化)は別名罰金法ともいいますが、それは、前にも書いたように、複数の目的関数(y)を逐次最適化していくと次々に説明変数(x)に線形制約がかかり、強い不定解に陥ることによって解が無くなることを防ぐために開発されています。つまり、同時最適化の手段です。
 また、複数の目的関数間に内部従属関係(その著しいのがトレードオフ)があると、両方の目的関数を同時に満たす解がありませんから、その場合も、「yの目標条件を逸脱した場合、逸脱度合いに応じてペナルティ(罰金)を課す」という方法で評価指標を作り、その評価指標の良い解を探します。当然、一部の目的関数を犠牲にした解がでますが、それをパレート解といいます。
 通常は、そのようなペナルティ関数は単峰(たんぽう)ではありませんので、1階の偏微分で極値探索はできません。多峰に応じた探し方が必要になります。

 ですから、解が存在するようなご質問のケースでは、ウェイトで解を限定するような姑息な手段を使っているのです。また、単峰の極値探索ですから偏微分で解が出るのです。

 ペナルティの掛け方には、多くの方法が提案されています。また、最適化ソフトによっても、実装されている関数が違います。その方法を完全に理解するのは困難かと思います。

 ペナルティ法について文献を調べましたが、簡単な解説がありません。Myersらの"Respons Surface Methodology 3rd Edition"の261ページに"desirability function"(満足化関数)について記載があり、ペナルティの掛け方について説明されています。これは、「Derringer and Suich の方法」です。
 この本は洋書で1万円以上します。図書館にあるといいですが・・・。
 あとは、この回答中にある英語のキーワードでググってみてはどうでしょうか。

#1です。
まだ、閉じてみえなかったんですね。

 Penalty Optimization(条件付最適化)は別名罰金法ともいいますが、それは、前にも書いたように、複数の目的関数(y)を逐次最適化していくと次々に説明変数(x)に線形制約がかかり、強い不定解に陥ることによって解が無くなることを防ぐために開発されています。つまり、同時最適化の手段です。
 また、複数の目的関数間に内部従属関係(その著しいのがトレードオフ)があると、両方の目的関数を同時に満たす解がありませんから、その場合も、「yの目標条...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q外点ペナルティ関数法

外点ペナルティ関数法について(250枚)
最小化:f(x1,x2)=(x1)^2+(1/3)(x2)^2
制 約:g(x1,x2)=-x1-x2+1<0
という制約条件が1つの問題であれば、ψ=(-x1-x2+1)^2とすることで拡張目的関数が
F(x1,x2,r)=f(x1.x2)+rψ(x1,x2)
=(x1)^2+(1/3)(x2)^2+r(-x1-x2+1)^2 ただし(-x1-x2+1<0である時)
となり、極小解を求めると、制約を満足していない領域においては
dF/dx1=(1+r)x1+rx2-r=0
dF/dx2=3rx1+(1+3r)x2-3r=0
より
x1=r/(4r+1)
x2=3r/(4r+1)
r=∞であるので、x1=1/4 x2=3/4と求まります。

ところで制約条件が複数個になった場合はどのようにといたらいいのでしょうか。
複数個制約が設けられた場合の解法を教えてください。

Aベストアンサー

「250枚」て何や? 説明してみい。(笑

質問文中のやり方は、ψ = (-x1-x2+1)^2 が間違い。
ψ = { -x1-x2+1 ≧ 0 のとき } (-x1-x2+1)^2
ψ = { -x1-x2+1 < 0 のとき } 0
でなかったら、ペナルティー関数にならんがな。

制約が複数あったら、g_k < 0 に対して
ψ_k = { g_k ≧ 0 のとき } (g_k)^2
ψ_k = { g_k < 0 のとき } 0
として、各制約のペナルティー関数を作って、

F(x,r1,r2,…) = f + Σ(r_k)(ψ_k) を最小化したら
ええやんか。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

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