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問題は上と下が逆さま!
1.いま財Xを横軸に、財Yを縦軸にとると、オッファーカーブとは、初期保有量点からの予算線と無差別曲線とが互いに接する点の、X-Y平面上の軌跡です。いま、一つの無差別曲線上の任意の点(の座標)を(a,b)としよう。無差別曲線の傾きは限界代替率(MRS)と呼ばれ、個人Aの効用から導かれるMRSは
MRS = - ∂UA/∂XA=-YA/XA
となるのはいいですか?したがって、点(a,b)における無差別曲線の傾きは
-b/a
となる。点(a,b)を通る、傾き-b/aの直線の式は
YA - b = (-b/a)(XA - a)
よって
YA = (-b/a)XA + 2b (*)
で表わされる。この直線は点(a,b)を通る無差別曲線に接する直線の式を表わしている。ところが、個人Aの予算線がこの無差別曲線と点(a,b)で接するとすれば、直線(*)が個人Aの初期保有点(XA,YA)=(10,0)を通らなくてはならない。よって、この値を(*)に代入して
0 = (-b/a)・10 + 2b
よって
a = 5
となる。このことは、効用関数がUA=XAYA、初期保有が(XA,YA)=(10,0)で与えられるときの、オッファーカーブは
XA = 5
で与えられることを示している。つまり、横軸上の5のところからを上方へ垂直線を立てると、それがこの場合のオッファーカーブである、ということだ。
2.効用関数が
UB = XB + YB
のときは、横軸にXBを、縦軸にYBをとると、無差別曲線群はどうなる?右下がりの45度線群(-1の傾きをもつ直線群)だ(なぜ?)。いま、個人Bの初期保有量点は(XB,YB)=(0,10)、つまり縦軸上の10の値の点で、個人Bの予算線はその初期保有点から出発する右下がりの直線だ。いま、予算線の傾き(の絶対値)が1より大きいなら、消費の最適点は(0,10)、傾きが1のときは、(0,10)と(10,0)を結んだ直線、つまり、点(0,10)を出発する無差別曲線と一致する(なぜ?)。そして予算線の傾きが1より緩やか範囲では横軸上の10の値より右側の部分。以上図に示してください!
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