ミクロ経済学の最適消費点の問題についてです。 効用関数がu=x+yで与えられている場合、加重限界効用

ミクロ経済学の最適消費点の問題についてです。
効用関数がu=x+yで与えられている場合、加重限界効用均等の法則からMUx/Px=MUy/Pyを出そうとすると、MUxもMUyも1になってしまって出せませんでした。
どうすれば解けるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/06/14 14:07

効用関数がu=x+yのようにリニアで与えられるときは、「通常の方法」はうまくいきません。

（費用関数がリニアの場合も同じ問題があります。）この効用関数から無差別曲線を描いてみてください。無差別曲線とは、uを任意の値に固定して、その値を満たす（x,y)の組をｘを横軸に、ｙを縦軸にとって（つまりx-y平面上に）描いた軌跡です。無差別曲線の一つは、uをある任意の値に固定して
x+y=u
より
ｙ=-x + u
となる。つまり、このときの無差別曲線はｙ切片がu（任意にあたえられた値）で、傾きが-1の、右下がりの直線となる。uを別の値に設定することで、別の無差別曲線が描かれる。このように、この効用関数から得られる無差別曲線群は傾きが-1の、互いに平行な直線群だ。
無差別曲線の傾き（の絶対値）を限界代替率MRSと呼ぶが、この無差別曲線群はいずれもMRS=MUx/MUy=1という一定値をもつ、特殊な無差別曲線群だということがおわかりでしょう。では、いま予算制約Px・ｘ＋Py・ｙ＝Iが与えられたとき、予算制約を満たす最適消費の組はどこにくるか？予算線を書き換えると、
y = -(Px/Py)x + I/Py
となることからわかるように、予算線も、傾きが-Px/Pyで、ｙ切片がI/Pyの右下がりの直線だ。効用最大化を達する最適消費の組はこの予算線上のどこにあるかは、予算線と無差別曲線のどちらの勾配が大きいかによって３つのケースがある。図を描いて確かめられたい。
・Px/Py > 1 (つまり、Px > Py)のとき、つまり、予算線のほうが無差別曲線より急勾配であるとき、最も高い位置にある無差別曲線は予算線の左端で交わる。つまり、最適消費の組は(x,y)= (0, I/Py)となる。この家計は所得全額をY財の消費にあてる。
・Px/Py < 1 (つまり、Px < Py)のとき、つまり、予算線のほうが無差別曲線より緩やかな勾配のとき、最も高い位置にある無差別曲線は予算線の右端で交わる。つまり、最適消費の組は（x,y)=(I/Px, 0)となる。この家計は所得全額をX財の消費にあてる。
・Px/Py = 1（つまり、Px = Py）のとき、予算線と無差別曲線が同じ傾きを持つとき、このときは最も高い位置にある無差別曲線と予算線は一致する。最適消費の組は無数にあり、予算線上のどの組も最適消費の組であることになる。

最適解が予算線の端で成立するとき、端点解（corner solution)と呼び、予算線の内部にある点で成立するときを内点解（interior solution)と呼ぶが、要するに、効用関数がリニアだと、特別の場合（価格比とMRSがたまたま等しいとき、つまり３番目のケース）を除いて端点解が成立する。端点解では、MRSとPx/Pyは均等は成立せず、よって「通常の方法」ではうまくいかないのだ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。大変分りやすかったです。この前の試験で出た問題なのですが、今度出ても良いように図を使って解く方法を覚えておきます。。

お礼日時：2016/06/14 19:05