![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
掲題の通りです。
複数の無差別曲線が交差しないことの証明ですが
条件として
・微分は使わない(ただし「接線の傾き」などという表現はOK)
・予算線は使っても使わなくてもいい
です。
宇宙人にもわからないとのことです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6846146.html
のNo.9
どなたか解説いただけますでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
背理法を使いましょう。
無差別曲線が交わると仮定すると矛盾が生じることを示すのです。
いま、商品Aと商品Bを買った時の効用を
U=U(A,B)
とします。
a1<a2のとき、
商品Aをa1個、商品Bをb個買った時の効用U1は
U1=U(a1,b)
商品Aをa2個、商品Bをb個買った時の効用U2は
U2=U(a2,b)
です。U1とU2のそれぞれの組み合わせで商品を買った時の2本の無差別曲線を考えると、無差別曲線は右上の曲線ほど効用が大きいので
U1<U2
となりますから、
U1≠U2
です。しかしこれが交差しているので
U1=U2
でなければなりません。これは矛盾しています。この矛盾は「2つの無差別曲線が交わる」と仮定したことから生じたので、「無差別曲線が交わる」という仮定が間違っていることになります。
よって無差別曲線は交差しません。
回答ありがとうございます。
なるほど、「2つの無差別曲線が交わる」と仮定して、それを否定すればいいんですね。
「交わらない」という結論を証明しようとして「悪魔の証明」に陥りかけていました。
すっきりしました。ありがとうございます!
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