「ミクロ経済学の力」という参考書で経済学を勉強しています。準凹関数とは等高線(無差別曲線にあたるもの

「ミクロ経済学の力」という参考書で経済学を勉強しています。準凹関数とは等高線(無差別曲線にあたるもの)の上側の集合が凸集合である。との記述がありましたが、意味がわかりません。

どなたかご教授ねがいます。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  凸集合が加重平均を取ったものというのは理解出来るんですけど、回答者様も仰っている「上側」という表現がわかりません。例えば、x1,x2の二財のケースで、縦軸に効用u, 横軸にx1をとった時のuの最大値付近が凸集合になってるということでしょうか。

    補足日時：2017/06/07 21:49

• 返信が遅くなってしまい申し訳ありません。
  
  丁寧なご回答本当にありがとうございます。
  申し訳ありませんが、私の勉強不足により数学的な概念の理解が追いつかない箇所があります。
  そこで、簡単に要約すると、この「上側」なるものは無差別曲線の東北側を指し、縦軸に効用をとった場合の効用が高い方向(等高線の比喩でいうと山の頂上の方向)を「上側」と表現しているわけではない、ということですか？
  
  そこだけ理解できれば満足です。よろしくお願いします。

    補足日時：2017/06/15 16:45

No.5 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/15 23:56

>簡単に要約すると、この「上側」なるものは無差別曲線の東北側を指し、縦軸に効用をとった場合の効用が高い方向(等高線の比喩でいうと山の頂上の方向)を「上側」と表現しているわけではない、ということですか

・はっきりいってこの文章がよく理解できません。

・縦軸に効用Uをとったら、2財の消費量x1とｘ２はどこにとるんでしょうか？2財の世界では、x1, x2, そしてUと、３つの変数があるので、3次元の平面が必要になる。横軸にx1、縦軸にx2、そしてx1-x2平面とは垂直の軸にUをとって効用関数U=u(x1,x2)をその3次元平面に描き、そうして描いた3次元のグラフを、U=100なら100の垂直軸で水平に切ったときの断面がU=100に対応する無差別曲線だ。

・等高線は比喩ではありません。無差別曲線とは等高線そのものです。等高線とは、高さを縦軸にとったものではありません。地図をごらんなさい。たとえば、富士山が地図の上でどのようにあらわされているか？2次元の紙の上に海抜100mの地点を結んだ曲線、海抜200ｍの地点を結んだ曲線、・・・・・、海抜3000ｍの地点を結んだ線等々を書き入れることで出来ている。同じように、無差別曲線も、２財の世界を考えると、財１の消費量(x1)を横軸に、財２の消費量(x2)を縦軸にとった2次元平面に、同じ効用水準（たとえば、U=100）を持つ財1と財２の消費量の組（x1,x2)を結んだ曲線がU=100に対応する無差別曲線だ。U=200の無差別曲線はU=100の無差別曲線の北東方向に位置する別の無差別曲線だ。高さ100mの等高線と高さ200mの等高線が交わらないように、U=100 の無差別曲線とU=200の無差別曲線は決して交わることはなく、U=100の無差別曲線より北東方向にあるすべての消費の組はU=100よりは大きい効用水準をもつx1とx2の組だ。
・縦軸に効用Uをとったら、2財の消費量x1とｘ２はどこにとるんでしょうか？2財の世界では、x1, x2, そしてUと、３つの変数があるので、3次元の平面が必要になる。横軸にx1、縦軸にx2、そしてx1-x2平面とは垂直の軸にUをとって効用関数U=u(x1,x2)をその3次元平面に描き、そうして描いた3次元のグラフを、U=100なら100の垂直軸で水平に切ったときの断面がU=100に対応する無差別曲線だ。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/09 07:00

「ミクロ経済学の力」という本を見てみました。

あなたが引用されているステートメントは485ページにありました。「等高線（無差別曲線にあたるもの）の上側」というのが分からなかったら、たとえば、次ページ（486ページ）にある無差別曲線の図（無差別曲線の図はたくさんあるので、どこでもよい、26ページの図でもよい）を参照するのがよい。無差別曲線（を
含む）の右側（北東方向）の部分が凸集合になると言っているのです。
もしかしたら、あなたは集合が凸である（凸集合）ことと、関数が凸（あるいは凹である、あるいは準凹である）ということを混同していませんか？集合には凸集合というのはあるが、凹集合というのはありません。それに対し関数には凸関数、凹関数、準凸関数、準凹関数とあり、ここで問題になっているのは、準凹関数とは何かということです。回答１で示したように、関数f(x)が準凹であるとは、すべてのt∊[0,1]、すべてのx, x'∊Dにたいして　　　

f(x)≧f(x')ならば、f(tx+(1-t)x')≧f(x')

が成り立つことです。このとき、U(a)={x∊D：f(x)≧a｝が凸集合になるという命題が成り立ちます。この命題はそれぞれの実数aにたいして成り立ちます。ただし、関数f(・)の定義域Dはｎ次元の凸集合、たとえば経済への応用だったらDとしてR＋^n（ｎ次元非負実数空間、たとえば、n=1だったら非負の半直線、n=2だったら、2次元空間の第一象限）がとられることが多い。ここで、等高線(無差別曲線）をI(a)と書けば、I(a)={x∊D: f(x)=a}となるので、教科書26ページや486ページのようなD=R+^2(2次元非負空間）の場合、U(a)はI(a)を含む、I(a)の右側あるいは上側の部分の集合を意味していることになり、f(x)が準凹関数なら、U(a)は凸集合となるのです。26ページや486ページの図ではU(a)は凸集合として描かれているので、効用関数f(x)は準凹関数であることが示唆されています。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/08 05:33

回答１でｘはn次元ベクトルと書きましたが、これは一般的に財の数がｎあるとき、ｘ＝(x1,x2,...,xn)ということで、関数

f(x)＝f(x1,x2,...,xn)の意味です。2財の場合は、n=2なので、x=(x1,x2)を表わし、f(x)=f(x1,x2)となることはいうまでもありません。等高線（経済学では無差別曲線がこれにあたる）とは、z=f(x)=f(x1,x2,...,xn)としたとき、ｚをある値ZならZに与えたとき、Z＝f(x1,x2,...,xn)を満たすｘの組(x1,x2,...,xn)をn次元平面に描いたものを指す。一般的には、この組は無数にある（ｚの値を変えれば、別のxの組がそれに対応する）。地図でいうと、海抜1000メートルなら、1000メートルの高さの地点を結んだものが等高線というが、効用関数でいうと、同じ効用水準を与える財の組(x1,x2,...,xn)をｎ次元平面に表した等高線を特別な名前「無差別曲線」と呼んでいる。財の数が２（つまりn=2)の場合は、無差別曲線は変数x1を横軸に、変数x2を縦軸にとった2次元のグラフとなるが、財の数が３（つまりn=3)の場合は、x1軸、x2軸、x3軸の3次元の平面に表されるので、「無差別曲面」となる。n>3となると、無差別曲線（曲面）はグラフとして具体的に表わせないので、どのような形になるのかは頭の中で想像するしかありません。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/07 23:38

2財の経済の効用関数を例にとると、回答No1でのf(x)とは、効用関数u(x1,x2)となる。

つまり、x = (x1,x2)で、関数ｆが効用関数uにあたる。無差別曲線とは、ある一定の効用水準Uを与えたとき、
U=u(x1,x2)
を満たす2財の組x=(x1,x2)の軌跡をx1-x2平面上に描いたものをいうが、通常の条件のもとでは、それが右下がりの曲線となることはあなたもご存知の通り。「上側」とは、この無差別曲線を境に上側（北東方向の部分）と下側（南西方向の部分）に分かれるが、上側（上方）の部分です。英語では、upper contour setといいますが、その上側の(x1,x2)の集合が凸集合になっているといっているのです。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2017/06/07 21:39

x,x'をｎ次元のベクトルとすると、関数f(x)が準凹であるとは、すべてのt∊[0, 1]に対して

f(x)≧f(x')ならば、f(tx+(1-t)x')≧f(x')となる
ことである。また、集合Uが凸集合とは
Uに属する任意の点x,x'をとると、tx+(1-t)x'∊U
が成り立つことである。ここまではよろしいでしょうか？
いま、集合U(a)を,aを任意の実数として
U(a)={ｘ: f(x)≧a}
と定義すると、U(a)は等高線aの上側の集合だ。いま、f(x)≧f(x')≧aとなる任意の点ｘ,x'をとると、x, x'はU(a)に属する。ところが、関数f(・)は準凹だから、
f(tx+(1-t)x')≧f(x')≧a
となり、点tx+(1-t)x'もU(a)に属する。つまり、U(a)は凸集合であることが示された。