ミクロ経済学 効用関数についてです。 u1＝(1/3)logx＋logz u2＝min{x＋y,z｝

ミクロ経済学　効用関数についてです。
u1＝(1/3)logx＋logz
u2＝min{x＋y,z｝
px＝1、py＝2、pz＝3、I＝20
s.t x＋2y＋3z＝20

上の二つの効用関数は同じ選好を表していますか？
どちらも最適消費量はx＝5、y＝0、z＝5になりますよね。

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/04 05:36

２つが同一の選好を表わしているなら、どんな価格、どんな所得のもとでも最適な消費の組(x,y,z)は等しくなる。

反例は簡単につくれる。I=20として、価格をpxとpzの値を入れ替えて、px=3、pz=1として(py=2はそのまま）、最適消費の組を計算してごらん。あるいは、I=20とpx=1、pz=3は元のままで、py＝1/2として、最適消費はいくらになるか計算してごらん。結論は、u1とu2のもとで最適消費は異なってくる、よってu1とu2は同じ選好を表わすものではない！

この回答へのお礼

仰る通りです！反例を考えれば良いのですね。あと、u2＝min{x＋y,z｝に関してなのですが、これはz＝x＋yと予算制約線の交点が最適消費の水準になりますよね。未知数3つに対して、2つの方程式しかないですが、どうすればうまく求められますか？力技でもなりそうですが、、

お礼日時：2020/08/04 12:22

No.6 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/05 13:51

>u2＝min{x＋y,z｝に対して、u3＝(1/2) min{x＋y,z｝は同じ選考を表しますよね？

はい。もっと一般的に、一方が他方の単調変換になっていれば、両者は同一の選好を表します。どちらも無差別曲線が同じだからです。効用関数の序数的性質といいます。

この回答へのお礼

序数的効用と基数的効用というものですね。色々と教えてくださり大変ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/05 23:12

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/05 12:12

もう一つ、ここの質問に関連して覚えておいて損がないのは効用関数が、レオンチェフ型ーー2つ財の代替性がゼローーとは対極にある、２つの財が完全代替的である場合。

つまり、効用関数が
U=X+Y
で与えられ、これを予算制約
PxX+PyY=I
のもとで最大化せよ、という問題。あなたのu2にはこれら２つのタイプの効用関数が関連している。この場合も、微分してゼロとおく通常の操作は無力だ。グラフを用いて解くのが一番有効な方法だ。解けますか？

この回答へのお礼

さらなるアドバイス誠にありがとうございます。線形の効用関数に対しては、相対的に割安な財に所得の全てを使うというのが答えでしょうか？

そして、もう一つお伺いしたいのですが、u2＝min{x＋y,z｝に対して、u3＝(1/2) min{x＋y,z｝は同じ選考を表しますよね？

お礼日時：2020/08/05 12:44

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/04 22:52

No3へ追記。

ｗを横軸に、ｚを縦軸にとると、拡張経路（所得・消費曲線）は

z = w

となる。原点を通る45度線だ。そこへ右下がりの２つの予算線
z=20-2w
z=20-3w
を描く。上の式は縦軸の20から出発し、傾きが-2、したがって横軸と10のところで交わる。要するに、(0,20)と(10,0)とを結んだ直線。下の式は、傾きが-3、したがって、横軸と20/3のところで交わる。つまり、(0,20)と(20/3,0)とを結んだ直線。これらの予算線と所得・消費曲線との交点が消費点をあらわしている。交点は前者のほうが(w,z)=(20/3,20/3)であり、後者のほうが(w,z)=(5,5)だ。前者がx=0の場合であり、後者がｙ＝０の場合だ。前者の場合に効用の値は最大になり、後者の場合には効用が最小になる。効用の最大化をめざす消費者は前者を選択するので、消費の組(x,y,z)＝（0,20/3,20/3)を選択する、ということだ。

この回答へのお礼

ご丁寧に回答してくださりありがとうございます。3財モデル、特にレオンチェフ型はなかなかやらないので戸惑ってしまいましたがら演習を重ねて慣れていきたいと思います。わかりやすく教えて頂き感謝申し上げます。

お礼日時：2020/08/05 10:09

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/04 19:20

u2= min{x+y,z}　　　　　　　

を私の反例の第1番目の仮定
px=3,py=2,pz=1, I=20
のもとで最大化してみましょう。幾何学的に（つまり、グラフを用いて）解くことを考える。いま、x+y=wとおいて、ｗを横軸に、ｚを縦軸にとると、上の効用関数から導かれる無差別曲線はL字型となることはあなたのご存じのとおり。無差別曲線群のL字の頂点を結んだ直線（拡大経路）は
ｚ＝ｗ
と、原点を通る、傾き１の直線。予算線は
x=0なら、2w+z=20 ⇒ z=20-2w
y=0なら、3w+z=20⇒ z=20-3w
ｘ、ｙが両方とプラスなら、aw+z=20 ⇒ z=20-aw , 傾きの絶対値aは２と３の間の値。

となる。予算線とL字型無差別曲線の接点はx=0のとき（つまり傾きの絶対値が最も小さい2のとき）最も北東方向にある（効用が高い）ことになる。つまり、ｗの消費はｘとｙのそれぞれではなく、合計で決まるので、費用のかかるｘではなく、費用の安いｙを消費すれば、効用が高くなるということ。以上から、
x=0
ｙ＝ｚ
2ｙ+z=20
を解いて、解はx=0, y=20/3, z=20/3となる。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2020/08/04 10:28

No1で挙げた反例解いてみた？あなたの答えを待っているのは面倒だから私の解を示しておく。

px=3,py=2,pz=1, I=20のとき。
u1のもとでは、x=5,y=0,z=5
u2のもとでは、x=0, y=20/3, z=20/3
となる。

px=1,py=1/2,pz=3, I=20のとき
u1のもとでは、x=25/2, y=0, z=5/2
u2のもとでは、x=0, y=40/7, z=40/7
となる。

どちらの場合も、最適消費はu1とu2の間では異なることがわかるでしょう！