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よろしくお願い致します。


放射性物質の減衰は

崩壊定数 X 半減期=ln2

(崩壊定数:原子核が1秒間に崩壊する確率)
(半減期:放射性核種が1/2になるのに要する時間)

で表されます。


このln2(=0.693)、複利計算の倍増期でも現れる(wikipedia)そうなのですが、なにか意味のある値なのでしょうか。


数学が苦手なので質問も分かりづらいかもしれませんが、よろしくお願い致します。

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A 回答 (3件)

こんにちわ。



放射性物質の量を表す式は、
N(t)= N(0)* e^(-kt)
(N(t):時刻 tにおける量、N(0):初期量、k:崩壊定数)

と表されます。
半減期をτとすると、元の半分の量になる時間がτということですから
N(0)/2= N(0)* e^(-kτ)
1/2= e^(-kτ)
2^(-1)= e^(-kτ)
-kτ= -ln(2)

よって、kτ= ln(2)となります。
この「2」は半減期(1/2)の 2を表していて、
そのときまでの時間(つまりは半減期)を用いているので 2が現れているだけです。

もし 1/3になるまでの時間をσとおけば、
kσ= ln(3)

となります。

さほど深い意味はないかと思います。^^;
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この回答へのお礼

なるほど。
「半分」とか「2倍」だからln(2)なんですね!!
よくわかりました。
丁寧な回答ありがとうございました。

お礼日時:2010/11/22 08:24

放射性物質の出す放射能の強度は


N=Noe^(-λt) (1)
で表されます。この放射能の強度Nが最初の強度Noの半分になるとき
N/No=1/2=e^(-λt)
これより
λt=ln2
となります。

年利rで複利でMo円のお金を借りるとn年後に返すべき金額(元利合計)は
M=Mo(1+r)^n
元利合計が借りた時の金額の2倍になる年nは
M/Mo=(1+r)^n=2
対数を取ると
nln(1+r)=ln2
よって
n=ln2/ln(1+r)
ここでもln2が出てくるということでしょう。
上式はrが決まっている時のnの計算に用いますが
N年後に2倍となる利率は
r=e^(ln2/N)-1
でもとめられます。

要は指数関数において2倍とか1/2とかを考えるときにln2が出てくるということです。
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この回答へのお礼

詳細、丁寧な回答ありがとうございます。
よくわかりました。

お礼日時:2010/11/22 08:22

半減期は崩壊曲線の関数がe^(-t)なので


まだ崩壊していない量が半減する(1/2になる)期間tを半減期というから
e^(-t)=1/2
を解くと
-t=ln(1/2)=-ln(2)
t=ln(2)
となります。

また複利計算でも同じような式がなりたつからln(2)が現れるということです。
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この回答へのお礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/11/22 08:22

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