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よろしくお願いいたします。

数学のFocus Gold1ⅡBという参考書を使っていますが、数Bの「複利計算」で行き詰っています。

問題文は
「年利率5%で100万円を借りて、ちょうど1年後から毎年10万円ずつ返すとき、何年後に返し終わるか。ただし、1年ごとの複利で計算し、log(10)1.05=0.0212、log(10)2=0.3010とする。」

回答は
「100万円を年利率5%でn年借りると、返済の総額は
100×(1+0.05)^n
また、毎年の返済額10万円を、年利率5%で積み立てた時のn年後の総額は
10+10×1.05+…+10×1.05^n=200(1.05^n-1)
となる。」


後は不等式を立式してnを求めるという手順で、それはいいのですが、この

「また、毎年の返済額10万円を、年利率5%で積み立てた時のn年後の総額は
10+10×1.05+…+10×1.05^n=200(1.05^n-1)」

という部分がわかりません。
毎年10万円返すのであれば、n年後の返済額は10×n万円なのではないでしょうか。

そもそも、複利計算の理屈自体がわかっていないというのもあります。
なぜ返済する額にも利率をかけるのでしょうか。

お願いいたします。

A 回答 (2件)

まず「複利計算」ですね。


 一言でいえば、元金に利息が付きますが、2年目以降には「元金+利息の合計(=元利合計)」に利息が付くということです。
 1万円を、利率5%で預けると、
  1年後:10,000円+500円(=10,000円の5%)
  2年後:10,500円+525円(=10,500円の5%)
  3年後:11,025円+551円(=11,025円の5%)

という風に、元利合計がどんどん増えていくの、利息もその分多くなって行きます。
 つまり、n年後には、
  (最初の元金)× 1.05^n
になるということです。

 ですから、100万円借りて、そのまま利率5%でn年経てば、借金の額は
   100万円 × 1.05^n ・・・(A)
に増えているということです。

 ここで、毎年10万円ずつ返すと、最初の年には、
  (1)借りた100万円は、5%の利息が付いて、合計105万円になっている。
  (2)これに対して10万円返すので、借金額は95万円になる。
ということです。
 本来の「元金合計」105万円に対して、10万円返した、つまり、(A)式でどんどん増えていくはずの借金を10万円減らしたわけです。従って、借金に付くべき2年目以降の利息も、この10万円分減らしたことになります。この10万円とそれに付くはずだった2年目以降の利息は、10万円の (n-1) 年分の複利計算で求まります。

 この「今借金を返して、借金そのものと借金につくはずだった利息を減らす」ということと、「そのお金を同じ利息(複利)で貯金していって、n年後にまとめて返す」ということは、同じことになります。ですから、返す「毎年10万円ずつ」も、複利計算で利息を計算しながら積み立てていくことになります。
 1年目に貯金する10万円は2年目以降の (n-1) 年間貯金しておくことになるのでの (n-1) 年の複利計算、2年目に貯金する10万円は2年目以降の(n-2)年間貯金しておくことになるのでの(n-2)年の複利計算、・・・という風に毎年貯金が増えていくことになります。
 借金を返済する毎年10万円ずつ n 年間積み立てて貯金した元利合計は、

  10万円×1.05^(n-1)(1年目の貯金)+10万円×1.05^(n-2)(2年目の貯金)
+10万円×1.05^(n-3)(3年目の貯金)+・・・+10万円(n年目の貯金)・・・(B)

ということになります。(ご質問分に書かれた式は、「+10×1.05^n」分だけ多いような気がします)

 これは、「等比級数の合計」を求めることになり、ここでは公式

   Σ(x^i)= [x^(k+1) - 1] / (x - 1)
  (i=0~k)

を使い、x = 1.05、k=n-1 とおけば、(B)式は

 (B)式= 10万円 × (x^n - 1) / (1.05 - 1)
     = 200万円 × (x^n - 1)  ・・・(C)

となるわけです。
(この公式は、こんなところを参照ください)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94% …

 あとは解答の説明のとおり、(A)と(C)を同時に成り立たせる「n」を求めればよいはずです。
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この回答へのお礼

お礼が遅くなってしまい、失礼いたしました。

毎年10万円ずつ返済していくということは、利息のついた借金額から10万円が引かれ、それに1.05%の利率がかかって…という繰り返しということですね。
私は借金額と返済額を別個に考えてあとで合算していました。
毎年返していくということは、返済する額にも(見かけ上)利率がかかっていると考えてもいいわけですね。

とても丁寧かつわかりやすい回答で本当に感謝しております。
ありがとうございました!

お礼日時:2015/04/15 14:37

>また、毎年の返済額10万円を、年利率5%で積み立てた時のn年後の総額は


10+10×1.05+…+10×1.05^n=200(1.05^n-1)」

a円を年率rの複利で積み立てるとn年後には

a・(1+r)^(n-1)

になっている、つまりa・(1+r)^(n-1)-a円の利子がついているというのが複利の原理です。

毎年a円積み立てると今年のa円にはまだ利子がつかない。1年以上たった去年のa円は利子がついてa(1+r)円になっている。k年前のa円はa(1+r)^(k-1)円になっている。n年前のa円はa(1+r)^(n-1)円になっている。

よってこれらの合計Sは

S=Σ(k=0,n)a・(1+r)^(k-1)

になります。要するにこれは公比(1+r)の等比級数の和、したがって

S=a[(1+r)^n-1]/(1+r-1)=a[(1+r)^n-1]/r

a=10万円、r=0.05, 万円単位で記述すると

S=10[1.05^n-1]/0.05=200(1.05^n-1)
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この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい、失礼いたしました。

借金額から毎年10万円を引くから、利率がかかっていくということですね。
等比数列の和は求められるので、もう一度解き直してみます。

ありがとうございました。

お礼日時:2015/04/15 14:41

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