数学B

x1、x2が正の実数のとき、(x1+x2)(1/x1+1/x2)の最小値を求めよ。
また、最小値をとるのはx1とx2がどのような場合か。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/11/14 09:33

x1、x2が正の実数なので

相加平均≧相乗平均の関係が使えます。

(x1+x2)(1/x1+1/x2)
=x1*(1/x1)+x2*(1/x2)+x1(1/x2)+x2(1/x1)
=1+1+(x1/x2)+(x2/x1)
(x1/x2)>0, (x2/x1)>0なので相加平均≧相乗平均の関係を用いて
≧2+2√((x1/x2)(x2/x1))=2+2√1=2+2=4
であることが分かる。最小値4をとる
等号成立時は「(x1/x2)=(x2/x1)のとき」であるから、
両辺に(x1/x2)(>0)を掛けると
　(x1/x2)^2=1
x1/x2>0であることに注意し、両辺の平方根をとれば
　x1/x2=1　∴x1=x2
すなわち、x1=x2のとき(x1+x2)(1/x1+1/x2)は最小値4をとる。

[確認]x1=x2(>0)のとき
　(x1+x2)(1/x1+1/x2)=(x1+x1)(1/x1+1/x1)=2x1*(2/x1)=4(x1/x1)=4
となって最小値が4と出てきます。
最小であることは
相加平均≧相乗平均の関係から導出された
(x1+x2)(1/x1+1/x2)≧4 (等号はx1=x2のとき成立)
が保証していますね。

No.3 回答者： Dr-Field 回答日時： 2012/11/14 08:02

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7796673.html と一連の問題でしょうか？
一連であれば、前述の問題を利用した方が簡単でしょう。一連でなければ、最初にそちらをご覧下さい。

(与式)＝(x1+x2)(1/x1+1/x2)＝x1/x2＋x2/x1＋2 だから、前述の問題の証明により x1/x2＋x2/x1≧2 なので、x1＝x2の時に(与式)は最小値の4となる。

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/11/14 05:40

訂正失礼。

> 従って、x1/x2=±1の時に最小となり、最小値は4。

x1、x2>0より、x1/x2=1という記述が抜けていました。

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/11/14 05:05

(x1+x2)(1/x1+1/x2)

=(x1+x2)((x1+x2)/x1x2)
=(x1+x2)^2/x1x2
=x1/x2+2+x2/x1

x1/x2=Xとおくと、
X+1/X+2となる。
f(x)=x+1/x+2とし、微分する。
f'(x)=1-1/x^2
f'(x)=0となるのは
x=±1の時
従って、x1/x2=±1の時に最小となり、最小値は4。