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なぜsinθはθに近似できるのですか?θというのは角度を表していると思いますが。

A 回答 (7件)

θが0に極めて近い場合に限られる。


sin0°=0

半径をRとすると、弧の長さ=Rθ

一方でy=Rsinθ

θ→0でsin0=Rθ=0、∴弧→y。
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これがよく説明に用いられる図です。


扇形OABの半径を1とすると

OAの長さ=OBの長さ=1
となり、角度x は角度をラジアンで表わす場合
角度は円弧ABの長さになります。

sinxはAHの長さになります。

xが充分小さいと、AHの長さと円弧ABの長さはだいたい
同じ長さになることは、直感的にわかると思います。
「なぜsinθはθに近似できるのですか?θ」の回答画像7
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弧度法との変換は次のようになります。

180度がπラジアンなので

θ(度)=180*x/π,x(ラジアン)

そして,sin(x) と記した場合の x は無次元,つまりラジアンと呼ばれる量(比)でないといけないわけです。電卓でも「度にしますよ」とスィッチを入れておかないと,sin(30)で 30度の sine の値は出てこないでしょ。下の図が y=x(青い破線) と y=sin(x) (黒の実線)を描いたものです。横軸の 0.4ラジアンがおよそ22.9 度になります。このくらいまでなら,青い破線と黒の実線がほぼ重なるから sin(x)≒x と近似できるというわけ。既にご回答があるテイラー展開の2項目までとると sin(x)≒x-x^3/6 ですが,これをプロットすると,この図の範囲だと,黒の実線とほとんど重なるんですよ。パソコンの表計算ソフトで図を描いてみてください。そして sin() の括弧の中は無次元量だということ,ラジアンという角度の表し方を勉強してみてください。
「なぜsinθはθに近似できるのですか?θ」の回答画像6
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sinθがθで近似できるというとき、θは角度ではなく、弧度を表しています。


θが角度を表していたら、sinθはθでなく(π/100)θで近似されることになります。
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角度θは、弧度法という方法では半径1の”円周の長さ”で角度を表すということに決めています。

つまり1周(360度)は2π(パイ)と表します。
これにより sinθ と θ の値は、小さい時にはほぼ同じ値になることが、視覚的にも分かると思います。( sinθ の三角形と θ の弧の長さを考えてみてください)
( θ / sinθ ) の θ → 0 の極値は 1 です。
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ではsinxのxも角度でしょうか。

そうとは限りませんよね。数学で言うθも一般論としては角度とは限りません。

なお関数をべき級数(a1+a2x+a3x^3+……と言う形の級数)に書き換えるマクローリン展開と言うものを使ってsinθを書き直してから高次の項を切り捨てると

sinθ≒θ

と言う近似式がほぼ自動的に導かれます。
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θを弧度法(角度の大きさをその弧の長さ(その半径は1とする)で表す方法)で表す時、θが0に近いくらい小さい場合にはその弧の長さもほとんど丸みがついていないのでほぼ直線と同じ長さ(≒y)と見なせます。



一方、sinθ(=y/r)は、r=1ですのでsinθ=yです。
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