式の導出過程を

θが微小な時
1-cosθ≒(1/2)θ^2になる導出過程を教えて下さい。
sinθ≒θであることを使うと思うのですが・・・

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/28 13:35

#1 です。

「テーラーやマクローリンは嫌いだ」とおっしゃられたときのために予防線を張っておきます。

等式 (1+a/2)^2=1+a+(a^2/4) において、a≒0 の場合ならば (a^2/4) を無視して (1+a/2)^2≒1+a 。
両辺の平方根をとり、SQRT(1+a)≒1+a/2 。
…ということでした。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
テーラー展開は苦手、というか見ただけで敬遠してしまって。。
自分にはこちらの説明の方が理解しやすいようです。
２度もありがとうございました。

お礼日時：2007/01/28 17:42

No.5 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/28 13:49

1 - cosθ = (1 - cosθ)(1 + cosθ) / (1 + cosθ)

　　　　　 = (1 - cos^2θ) / (1 + cosθ)
　　　　　 = sin^2θ / (1 + cosθ)
　　　　　 = (θ^2 * sin^2θ) / (θ^2 * (1 + cosθ))
　　　　　 = sin^2θ / θ^2 * θ^2 / (1 + cosθ)

この回答へのお礼

θ→0のときsin^2θ / θ^2→1、1+cosθ→2と考えればいいのですね。
わかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2007/01/28 17:56

No.3 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/28 12:07

ちなみに、sinθ≒θから導出する場合は、

sin(1/2θ)^2 ≒　{(1/2)θ}^2
sin(1/2θ)^2 =(1-cosθ)/2という半角の公式を用いると、
(1-cosθ)/2 ≒ {(1/2)θ}^2 = (1/4)θ^2
ゆえに、1-cosθ=(1/2)θ^2である。

といった形で思います。

この回答へのお礼

半角の公式を使うのですね。
よくわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2007/01/28 17:46

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/28 08:18

　cosとsinの近似式の大元はマクローリン展開したものです。

　　cosθ＝[n=0→∞]Σ(-1)^n θ^(2n)/(2n)!＝1-(1/2!)θ^2+(1/4!)θ^4-(1/6!)θ^6+・・・
　　sinθ＝[n=0→∞]Σ(-1)^n θ^(2n+1)/(2n+1)!＝θ-(1/3!)θ^3+(1/5!)θ^5-(1/7!)θ^7+・・・
　これらの式をθの２乗までの項で表したものが、求める近似式です。
　このマクローリン展開の仕方につきましては、下記URLを参照してください。
http://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm

　ちなみに、＃１さんが挙げられた近似式もマクローリン展開から得られたものです。
　　√(1-d^2)＝1-[n=1→∞]Σ(2n-3)!! d^(2n)/(n! 2^n)＝1-d^2/2-d^4/8-d^6/16-・・・

この回答へのお礼

テーラー展開は習ったのですが忘れてしまっていました。。
もう一度見直してみます！
ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/28 17:44

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/28 07:35

近似式

　sqrt(1-d^2)≒1-(1/2)d^2
を使います。
dのところに、sinθ≒θを入れてみてください。