高校数学 数列の問題です。間違いを指摘してください。

添字は[]で表します。
等差数列a[n]の初項から第n項までの総和S[n]について
S[20]=400,S[30]=900である。
S[40]を求めよ。

<解答>
公差をdとする。
20d*S[10]=S[30]-S[20]
=500
d*S[10]=25

S[40]=S[30]+30d*S[10]
=900+30*25
=1650

答えは1600です。
回答よろしくお願いします。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/10 11:56

20dとか30dはどこから出てきたのかです。

等差数列は初項があるから、そんな式は成立たない。
同じ公差dでも初項が1の場合と100の場合じゃ違うよ。

S[20]=400,S[30]=900の2式から和の式を使って初項aと公差dを求め、S[40]を求める。

初項a、公差dの等差数列第n項はa+(n-1)d
n項までの和はΣ(a+(n-1)d)=an+dΣn-dn=an+dn(n-1)/2 - dn

S[20]=20a+170d=400
S[30]=30a+405d=900
a,dに関する連立方程式を解くとa=3、d=2

これを使ってan+dn(n-1)/2 - dnで、n=40と上のa,dを代入すればS[40]が求まる。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/10 11:06

等差級数は 初項を a 、公差を d とすれば、

n 項は a+(n-1)d となりますね。
この級数の和は 次のようになりますね。
（初項+n項)x項数÷2 です。
（アルファベットの 添え字が書けませんので、文章にしました。）
条件から 初項と公差を求めれば、答えになります。