√3が無理数であることを既知として、√3+√5が無理数であることを証明せよ。「閉じていることを」利用

√3が無理数であることを既知として、√3+√5が無理数であることを証明せよ。
ただし、証明の過程で「閉じていることを」利用せよ。
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という問題ですが、さっぱりわかりません。

「閉じている」というのは有理数の演算が「閉じている」という意味かと推測するのですが、左様であってもどのように利用したらよいのか？？√3+√5=n/m（ｍとｎは互いに素な整数）とおいて両辺二乗してetcとやってはみたのですが、どこで「閉じている」を使うのかが不明であります。

よくある「典型問題」（？！）ということなのですが、上記についておわかりの方がおられましたら、何卒よろしくお願い申し上げます。

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/06/26 07:24

＞という問題ですが、さっぱりわかりません。

＞√3+√5=n/m（ｍとｎは互いに素な整数）とおいて両辺二乗してetcとやってはみたのですが
方針として、「√3+√5が有理数と仮定すると、√3も有理数になる」を証明すれば、よいのでは？

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

No1の方の解答とも合わせよく理解できました。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2017/06/26 12:21

No.1 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/06/25 22:51

有理数の演算が閉じているということは、有理数を2乗しても有理数になりますし、有理数を足しても有理数になります。

有理数を有理数で割っても無理数にはなりませんよね。

√3+√5が有理数であると仮定した場合は、これを2乗しても有理数ですし、何か他の有理数を足しても有理数です。

http://iky.no-ip.org/dictionary/2009/05/post_34. …

『有理数同士の足し算、引き算、掛け算、割り算の答えはすべて有理数の中で調達できるという意味で、「有理数は四則演算について閉じている」という。』

aが有理数ならば、その2乗をしたa^2も有理数で、さらに有理数である2を引いても有理数となるので、a^2-2は有理数です。

もちろん、2は有理数なので、2aも有理数です。また、有理数を0でない有理数で割っても有理数ですね。なので、a^2-2を2aで割ったものも有理数になるわけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

「閉じている」の利用方法がわかりました。

お礼日時：2017/06/26 12:21