数列1.2.3.....nにおいて、n≧2のとき、異なる2つの項の積の和を求めよ。という問題で、なぜ

数列1.2.3.....nにおいて、n≧2のとき、異なる2つの項の積の和を求めよ。という問題で、なぜ赤線の式が出てくるのか分かりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： puyo3155 回答日時： 2023/02/26 21:15

実際

（１＋２＋３＋・・・・・＋ｎ）＊　（１＋２＋３＋・・・・＋ｎ）

を根気よく掛け算すれば、そうなりますよね。種も仕掛けもなく、ただ普通に掛け算するだけです。

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2023/02/27 19:33

ｋ=2 なら　（１＋２）＾２＝１＾２＋２＾２＋２・（１＋２）

ｋ=3 なら　（１＋２＋３）＾２＝{【１＋２】＋３　}＾２
　　　　＝（１＋２）＾２＋３＾２＋２・（１＋２）・３
　　　　＝１＾２＋２＾２＋２・（１＋２）＋３＾２＋２・（１＋２）・３
ｋ＝４　なら　（１＋２＋３＋４）＾２＝{（１＋２＋３）＋４}＾２
　　　　＝（１＋２＋３）＾２＋４＾２＋２・（１＋２＋３）・４
ややこしいので訂正
ｋ=2 なら　（１＋２）＾２＝１＾２＋２＾２＋２・（１・２）
ｋ=3 なら　（１＋２＋３）＾２＝{【１＋２】＋３　}＾２
　　　　＝（１＋２）＾２＋３＾２＋２・（１・２）・３
　　　　＝１＾２＋２＾２＋２・（１・２）＋３＾２＋２・（１＋２）・３
　　　　＝１＾２＋２＾２＋３＾２＋２（１・２＋１・３＋２・３）
ｋ＝４　なら　（１＋２＋３＋４）＾２＝{（１＋２＋３）＋４}＾２
　　　　＝（１＋２＋３）＾２＋４＾２＋２・（１＋２＋３）・４

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2023/02/27 19:21

（１＋２）＾２＝１＾２＋２＾２＋２・（１＋２）

間違いで
（１＋２）＾２＝１＾２＋２＾２＋２・（１・２）
以後　訂正してください！

1・２　１・２　１・３　.....１・ｎ
ここも訂正
1・２　１・３　１・４　.....１・ｎ

n・１　n・２　n・３　　.......n・（nー１）
は
n・１　n・２　n・３　　.......（nー１）・ｎ
にしてください

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2023/02/27 19:12

項数は組み合わせで　ｎ　C　２＝n(n+1)/2

間違いで
＝n（ｎ-1）/2

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/02/27 19:07

簡単に言えば

ｋ=2 なら　（１＋２）＾２＝１＾２＋２＾２＋２・（１＋２）
ｋ=3 なら　（１＋２＋３）＾２＝{【１＋２】＋３　}＾２
　　　　＝（１＋２）＾２＋３＾２＋２・（１＋２）・３
　　　　＝１＾２＋２＾２＋２・（１＋２）＋３＾２＋２・（１＋２）・３
ｋ＝４　なら　（１＋２＋３＋４）＾２＝{（１＋２＋３）＋４}＾２
　　　　＝（１＋２＋３）＾２＋４＾２＋２・（１＋２＋３）・４
この繰り返しで　数学的帰納法で赤線と予想できるでしょう！
ｋ＝ｎ　なら　赤線となるよね！
　項数は組み合わせで　ｎ　C　２＝n(n+1)/2
となり　ｎ個から２つ選ぶ組み合わせとなるから　２（.......)の中は
例えば　樹形図を書けば
1・２　１・２　１・３　.....１・ｎ
２・１　２・３　２・４　.....２・ｎ
................................................
n・１　n・２　n・３　　.......n・（nー１）
で　同じ組み合わせを省くから
例えば　１・２　と　２・１　は同じだから　２！で割ればいい

行列では　AB と　BA　は一般に異なるから　たとえば
（AB)^2=A^2+AB+BA+B^2 となるが
行列ではないので
（a+b)^2= a^2+b^2+a・ｂ＋ｂ・a =a^2+b^2+2・aｂ　となるから

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/27 01:17

{ Σ[k=1...n] k }^2 = { Σ[i=1...n] i }{ Σ[i=1...n] j }

= Σ[i=1...,n;j=1...,n] ij
= Σ[i=1...,n;j=1...,n かつ i=j] ij
　+ Σ[i=1...,n;j=1...,n かつ i<j] ij
　+ Σ[i=1...,n;j=1...,n かつ i>j] ij
= Σ[k=1...,n] k^2
　+ Σ[1≦i<j≦n] ij
　+ Σ[1≦j<i≦n] ij
= Σ[k=1...,n] k^2
　+ 2Σ[1≦i<j≦n] ij.

「求める和」が何であるかの説明が質問文にありませんが、おそらく、
この Σ[1≦i<j≦n] ij にあたるものを何らかの式か言葉で示してあった
のだと思われます。

No.5 回答者： ぐるぬいゆ 回答日時： 2023/02/27 00:32

＞2つめの1に対する分配公式でも全く同じことです。

ここを訂正します。
普通に分配公式で展開してみてください。そうすれば、2回同じ組み合わせの掛け算が現れることが分かるはずです。例えば、2×3なら2回、3×nでも2回です。

No.4 回答者： ぐるぬいゆ 回答日時： 2023/02/27 00:23

要するに、実際に展開式を書いてみればいいのです。

(1+2+3+...+n)(1+2+3+...+n)
で始めの1に対する分配公式は
1^2+1×2+1×3+....1×n
です。で、2つめの1に対する分配公式でも全く同じことです。
だから、2倍の「1」の分配公式になります。
これがすべての数字において同じことですから、写真の3行目として表されるわけです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/26 22:09

「その式を持ち出すと簡単に計算できる」というだけのこと. 「なにがなんでも, どうしても, その式を使わないと求まらない」ってわけ

でもないよ.

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/02/26 21:25

実際に書けば解ると思う。

a,b,cの場合はab+ac+bcが答になる。

一方で
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
∴2(積の和)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²)

異なる積の和=(和²-2乗の和)/2になってる。

項数がn個になっても同じ事が言えるからね。