電子書籍ギフト♪ 最大10,000円が当たる!

私は理系の大学に通っている3回生です。
いま連続体力学という授業のなかで、ベクトルを勉強しています。
授業のなかで
ベクトルの外積A×Bは軸性ベクトルであることを証明せよ。
という証明問題がでたのですが、どうしてもわかりません。

どなたかわかる方
解説お願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

 極性ベクトル(普通のベクトル)と軸性ベクトル(擬ベクトル)の説明って、ちゃんとされないと思うんですよね。

しかもそれに数学の線形代数のベクトルの(線形空間の)定義が重なって、余計わけわかんなくなる・・・。

 まず#1さんの方法は、最も簡単なものです。

次に・・・、次に出す言葉でびびらないで下さいね。

  ・軸性ベクトルとは、2階の反対称テンソルの省略記法です.

 2階のテンソルとは、添え字の足2つという事で、たんなる行列です。反対称なんだから、2階の反対称テンソルとは反対称行列の事です。

 3次元の場合の反対称行列を考えると、対角成分全部0に固定で、独立な成分は、非対角成分の上半分か、下半分の3個です。
 独立成分3個である事を強調して、「3個で3次元だから、ベクトル形式で表すと便利だよなぁ~」という事で、軸性ベクトルが導入されます。
 この反対称行列Rは、回転行列をA(θ),単位行列をE,(極性)ベクトルをx、回転によるベクトル移動をδxとして、

 δx=(A(θ)-E)x

を考え、θ→0の1次の項だけ考慮して、R=A(θ)-Eで定義されるので、結局回転移動を表しています。ここらあたりは、ゴールドスタインの古典力学に、明快な説明があります。

 極性ベクトルxと軸性ベクトルrの違いは、ベクトルと行列の変換性の違いです。Sを基底変換行列とすれば、ベクトルと行列はそれぞれ、

 x'=Sx
 R'=S^(-1)RS(≠Sr)

という変換を受けるので、「違うにきまってるじゃないか!」となります(Sが直交変換の時は、=Srになりますが)。
 特にSを座標反転だとすれば、x'にはSのー符号が作用して反転しますが、S^(-1)RSだと(-)×(-)=+1で反転しない事になります。

 さらに事情を悪くしているのが、線形代数におけるベクトルの定義です。軸性ベクトル全体を集めて集合V'をつくると、なんとV'はベクトル空間の公理を全て満たして、ベクトル空間になってしまうんですよね。なので線形代数の立場では、軸性ベクトルもベクトルです。

 「ベクトルの外積A×Bは軸性ベクトルであることを証明せよ」で本質的に問われている事は、以下です。

 極性ベクトルのベクトル空間Vを考えたとき、それを土台にして定義された軸性ベクトルのベクトル空間V'は、果たして、もとのVと同じものか?

です。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

とても詳しい解説ありがとうございます。
確かに、軸性ベクトルってなに?って思ってました。
軸性ベクトル理解してから、証明問題を解いてみたいと思います。
ありがとうございます。

お礼日時:2008/10/30 20:03

軸性ベクトルの意味は,


「座標系の反転のもとで符号を変えない」
ということですので,ベクトルA,Bの成分の符号をすべて
反転させたときに,成分による外積の結果が反転させる
前のものと同じであることを示せばよいのではないで
しょうか?
    • good
    • 4
この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます!!
言われた方法で考えてみます。

お礼日時:2008/10/29 23:36

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード

人気Q&Aランキング