ネットが遅くてイライラしてない!?

はじめまして。
下記の問題が解けなくて困っております。

2次元非圧縮性流体の連続の式は,速度u, vを用いると,
∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 -------------(1)
で示される。
一方、極(円筒)座標の場合には,UR, Uθを用いて
∂(rUR)/∂r + ∂Uθ/∂θ = 0 --------------(2)
で示される。
この時、
u=URcosθ-Uθsinθ
v=URsinθ+Uθcosθ
および,
x=rcosθ, y=rsinθ
の関係を用いて(2)式を導出せよ。

当方、社会人ですが最近、流体に関して勉強する必要が生じました。
周りに聞ける人がおりませんもので、何卒ご教授よろしくお願いいたします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (1件)

>当方、社会人ですが最近、流体に関して勉強する必要が生じました。



(2)式の導出が自分でできないままでは、この先、困ることが多いと思います。そのたびにここで質問するわけにはいかないでしょう。大学レベルのベクトルの勉強で必ず出てくる事柄ですから、教材には事欠きません。自習してください。

変数変換の計算を地道に実行して(2)式を導けたら、(1)式が
  速度ベクトルの発散 = 0 
を表していることに着目して、図の上で流体の質量の保存を考えて(2)式を導いてみるとよいでしょう。実は、この方が計算量がはるかに少なくてすみます。この導出法も、ベクトルや流体の勉強ではおなじみのものです。

なお、(1)式と(2)式は次元が違いますね。連続の式の本来の形では、(2)式の左辺に因子 1/r がかかります。
    • good
    • 3

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q円筒座標におけるナビエストークス方程式の導出を教えてください.

デカルト座標でのナビエストークス方程式
を円筒座標系(r,φ,z)での式に変換するために
円筒座標系のナブラとラプラスを求めて,
速度を代入てみたのですが
計算しても出ない項があって困っています.

特にわからないのは
r方向の式の左辺の中で4つ目の項です.
-vφ^2/r 
(vφは周方向の速度です.)
何かヒントやアドバイスがあれば教えてください.

Aベストアンサー

>特にわからないのは
r方向の式の左辺の中で4つ目の項です.
-vφ^2/r 
式の全体が載っていないので4つ目の項といわれても??ですが、∇とからラプラス等を円筒座標系に変換するには次の展開を使ってコツコツやればでてくるのではないでしょうか、、、
x=rcosφ、y=rsinφ、z=z
∂r/∂x=cosφ、∂r/∂y=sinφ、∂φ/∂x=-sinφ/r、∂φ/∂y=cosφ/r
∂/∂x=∂r/∂x・∂/∂r+∂φ/∂x・∂/∂φ=cosφ・∂/∂r-sinφ・∂/(r∂θ)、∂/∂y=∂r/∂y・∂/∂r+∂φ/∂y・∂/∂φ=sinφ・∂/∂r+cosφ・∂/(r∂θ)
尚、ココ↓も参照してみてください。
http://odn.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=964656

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Q連続の式の導出について質問です。

画像中の式についていくつか質問があります。


質問(1)
dsを通って流れ出る流体の質量はρ↑v・↑n
で表せる理由がわからないので教えてください。

質問(2)
全体で考えるとVの中の質量の変化は
(1)で等号で結ばれている3つの式がありますが、これらが何を表現しているのか、なぜこうなるのか教えてください。

質問(3)
(2)が任意の体積で成り立つためには、
最後の行の連続の式が成り立つのはなぜですか?

↓拡大画像
http://www.fastpic.jp/images.php?file=8244975966.jpg

Aベストアンサー

どういう問題で、また式の導出過程も分からないので自信はありませんがあくまで参考程度に。

質問(1)
一般には面積⊿Sの面に垂直な向きの速さvで通過する流体の質量⊿mは⊿m=ρv⊿t⊿Sと表されます。v⊿tは単位時間当たりに移動した流体の距離で、v⊿t⊿Sは体積です。単位時間当たりでその体積内にどれ程の流体が入ってきたか、すなわち質量は体積v⊿t⊿Sに密度ρを掛けた物になります。これを面全体で面積分すれば質量mが得られます。ある面をある時間内に通過する粒子の量がもし多ければ、その粒子の流れは密度の大きいものである、ならばその流れは質量の大きい物だろうという寸法です。これを流束密度ベクトルと言います。

もし、流体の速度↑vが面に垂直ではない無い場合は、その面に垂直な法線ベクトル↑nとの内積をとる必要があります。ここでは面dSに↑nを掛けた面素ベクトル↑dSという物を用います。↑v・↑dS=vdS cosθとなり、dS cosθは速度↑vに垂直な面積の成分です。dS cosθはdSより小さくなるので、通過する流体の量も減ってしまいます。図が無いので分かりにくいと思いますが...。ただイメージとしては、セロハンテープ等の丸い輪っかを目の前に視線に対して垂直に持つと、円の面積そのままで見えるはずです。これを横に回すと楕円に見えて見える面積が小さくなりますよね。つまり自分の目からビーム等が直線状に出てるとすれば、同じ領域でも傾きがあると、その領域を通過するビームの量が変化します。だから内積↑v・↑nをとるのです。

質問(2)
左の式から(1)式、(2)式、(3)式とします。
(1)式の意味は、領域Vを通過する流体の密度の時間変化。(2)式の意味は、密度が時間によって変化する場合の流体が面Sを通過した質量。(3)式は(2)式の内積↑v・↑nを、面に垂直な向きの速度vnに直した物だと思われます。この時の密度は時間だけではなく、その位置によっても密度が異なるので、正しくはρではなくρ(r、t)の2変数関数で表現されます。だから、(1)式は微分ではなく、偏微分で書かれているという訳です。(2)、(3)式に負号が付く理由は、後で説明します。

質問(3)
積分する領域(範囲)は同じで両辺が等号なのですから、∫の中同士も等号が成り立ちます。多少複雑な形にはなってますが、要するに∫f(x)dx=∫g(x)dxならば、f(x)=g(x)です。
そして連続の式についてですが、∇・(ρ↑v)は湧き出し、つまり流体が出ていく(面を通過していく)量を3次元に拡張したものです。負号が付くのは、内部から流体が出て行けば内部の密度は下がる事を意味しています。(出て行った量)=(密度の変化量)という関係は、出た分だけ密度が変化する(小さくなる)という事です。すなわち、出て行った量(∇・(ρ↑v))+密度の増加分(∂ρ/∂t)=0は差し引きゼロで、流れは連続的で定常状態を保っているという意味です。これは電磁気学でいう電気量保存則と同じような事で、電流密度ベクトルを↑jとすれば、それは∂ρ/∂t+∇・↑j=0となり、電気量が保存されている事を意味してるのです。


自分は物理学科なので、機械工学系とはアプローチが違うかもしれんが少しでも参考になれれば

どういう問題で、また式の導出過程も分からないので自信はありませんがあくまで参考程度に。

質問(1)
一般には面積⊿Sの面に垂直な向きの速さvで通過する流体の質量⊿mは⊿m=ρv⊿t⊿Sと表されます。v⊿tは単位時間当たりに移動した流体の距離で、v⊿t⊿Sは体積です。単位時間当たりでその体積内にどれ程の流体が入ってきたか、すなわち質量は体積v⊿t⊿Sに密度ρを掛けた物になります。これを面全体で面積分すれば質量mが得られます。ある面をある時間内に通過する粒子の量がもし多ければ、その粒子の流れは...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qエクセルギーが分かりません

 今エクセルギーを勉強しているのですが いまいち理解が出来ません。エクセルギーとは「ある系が周囲温度と平衡に達するまでに、他の系に与える最大仕事のこと」だとは分かりました。
 このエクセルギーの計算ですが、調べたHPで系の温度と周囲温度の値による熱エクセルギー比の変化というものがありました。
 この式は熱エクセルギーξが
ξ=E/Q=m(h-h0){1-T0/(T-T0)lnT/T0}...(1)
  で求めていました。この式は
熱効率ηmax=1-T0/T
 と指すものが同じだと思うのですが値を代入してみると(1)とは違った値が出てきます。これは何故でしょうか?何故エクセルギはW=η×Qと明確に区別するのでしょうか?どなたか分かりやすく教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

<<3補足
はい。そのとおりです。

なお、♯3の訂正です。

カルノーサイクルでは、熱源の温度は十分大きいとしていて×→熱源の大きさは十分大きいとしていて

Q流線と流れ関数の関係

以下のサイトの「流線と流れ関数の関係」のところなのですが
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/StreamFunction/

「同一の流線上では流量が零なので、ψ=constantが言えます。」とあるのですが、同一の流線上で流量が0となるのは何故ですか?

あと、流れ関数や速度ポテンシャルについて具体的な事例や図などを用いて解説しているサイト・本などがありましたら教えてください。

Aベストアンサー

流線(streamline)というのは、その線上の各点における接線が流速を示すベクトルの向き(方向?)と一致する線です。したがって、流線を横切る流量は0ですね。
流れ関数(stream function)というのは、2次元非圧縮流のなかに2点、たとばP1とP2をとったとき、その2点を結ぶ任意の曲線Cを単位時間に横切る流量に関係しています。
Ψ(P2)-Ψ(P1)=∫Vnds Vn:流速の法線成分
即ち、流れ関数のP1とP2における値の差が、P1とP2を結ぶ任意の曲線を単位時間に横切る流量を示します。具体的なイメージとしては、2次元非圧縮流の中に、赤と青の旗を立てたとすると、その間を単位時間に流れていく流量を流れ関数Ψの差が表しているということになります。したがって、赤青2本の旗が、同一流線上にあれば、そもそも流線上では、流速は法線成分を持ち得ないのですから、流線を横切って流れる流量は0です。したがって、流れ関数のP1における値とP2に置ける値の差は0、即ち、Ψ=const.です。

Q流体力学 二重円筒

次の問題を自分で解いてみたのですが正解であるか不安です。正解かどうか教えてください。お願いいたします。

問題

  図のような同軸の二重円筒に流体を満たし内側円筒のみを回転させ、軸トルクを測定することで 流体の粘度を測定しする装置について考える。内側円筒と外側円筒の半径をそれぞれR_i=20mm,
 R_o=30mmとし、回転角速度をΩとする。以下の問いに答えよ。

(1)回転開始から時間が経過し、流れが定常に発達した状況を想定する。代表長さを流体層厚さd  =R_o-R_i,代表速さを内側円筒壁面の速度とするレイノズル数Reがおおよそ40以下の場合、流れ は周方向速度のみをもつ軸対称クエット流れとなり、軸トルクの計測から粘度が求まる。測定可能 な最低粘度を0.01Pa・s とするとき、設定可能な最大の円筒回転角速度Ω_maxを求めなさい。ただ し、流体の密度はρ=10^3kg/m^3とする。

(2)(1)の条件が満たされるとき、流れの周方向速度成分u_θは以下の常微分方程式に従う。これ  を適切な境界条件のもとで解き、u_θの半径方向速度分布を求め図示しなさい。

         d^2(u_θ)/dr^2+1/r(d(u_θ)/dr)-u_θ/r^2=0

 なおω=u_θ/rなる変数変換を用いてよい。

(3)回転角速度Ω=1rad/sに設定し、粘度μ=0.05Pa・sの液体を計測する。トルクの計測において
 円筒上下の境界や機械的な摩擦の影響がないものとして、(2)で得られた速度分布をもとに粘性 せん断応力から得られる軸トルクTの値を求めよ。なお円筒の軸方向長さL=50mmとし、せん断応 力は

        τ_rθ=μ(d(u_θ)/dr-u_θ/r)

で与えられるものとする。



(自分の答え)

(1)
    Re=u_θd/ν=40より
    u_θmax=40×10^-5/(0.03-0.02)=0.04

u_θmax=R_iΩより
      Ωmax=2rad/s

(2)
常微分方程式を次のように変形する

       r^2u"+ru'-u=0

ここでu=r^λとおいて代入して得られる特性方程式は

       λ^2=1
   
    したがって一般解は
       u_θ=C_1r_^-1+C_2r  

    境界条件r=R_iのときu=ΩmaxR_i,r=R_oのときu=0より

       C_2=Ω_maxR_i^2/(R_i^2-R_o^2)=-1.6

C_1=-R_o^2C_2=1.44×10^-3

u_θ=(1.44×10^-3)r^-1-1.6r

(3)
    u'=(-1.44×10^-3)r^-2-1.6

ニュートンの粘性法則より
    
    τ_rθ=μu'

    よってトルクTは

     T=2πR_iL×(τ_rθ|r=R_i)×R_i=-9.04×10^-6[N・M]


    

次の問題を自分で解いてみたのですが正解であるか不安です。正解かどうか教えてください。お願いいたします。

問題

  図のような同軸の二重円筒に流体を満たし内側円筒のみを回転させ、軸トルクを測定することで 流体の粘度を測定しする装置について考える。内側円筒と外側円筒の半径をそれぞれR_i=20mm,
 R_o=30mmとし、回転角速度をΩとする。以下の問いに答えよ。

(1)回転開始から時間が経過し、流れが定常に発達した状況を想定する。代表長さを流体層厚さd  =R_o-R_i,代表速さを内側円筒壁面の速...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。 なかなか回答がつかないようなので・・
具体的な数値が合っているかどうかは確認していませんが、考え方や定式化に間違いはありません。ゆえ、電卓計算にミスが無ければ、全て正解ですね。

Q【10の13乗】って英語でどう読むのですか?

【10の13乗】って英語ではどう読めばいいのでしょうか。

これにかかわらず指数の英語での読み方を教えてください。宜しくお願いします!

Aベストアンサー

こういうのは乗数とか累乗というのでは?
xのn乗は、x to the nth powerといいます。
2乗はsquared(5の2乗はfive squared),3乗はcubed(7の3乗はseven cubed)ともいいます。

『これを英語で言えますか?』講談社 は、他にも数式の読み方なども載っていますよ。

Q静温・全温について

静温と全温についてご存知の方おりましたら、感覚的に分かるよう、教えて頂けますでしょうか?


これまで調べた結果は以下の通りですが、理解しきれておりません。

(1) 静圧+動圧=全圧 >>全圧を温度で表したものが全温
 (静圧、動圧、全圧については感覚的に理解できます。)


(2) Cp*T0 = Cp*T + u/2
    ここでCp:比熱
       u : 流速
       T0 : 全温
       T : 静温
  (流速が関係しているが、温度と流速にどのような関係が・・・イメージ掴めません。。)


以上、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

エネルギー保存の関係です。流れの持つ運動エネルギーが熱エネルギーに全て変換された場合の温度が全温になります。

(2)式のCp*Tは流体の持つ熱エネルギーに対応し、u^2/2は流れの持つ運動エネルギーに対応します。流れをせき止めようとする、すなわち、流れの速度を落として運動エネルギーを減らすと、その分だけ熱エネルギーが増えます。つまり温度が上昇します。これを流れが止まるまで行った際の流体の温度がT0になります。

力学的エネルギー保存則で考えてもいいかも知れません。次の式

  gh0=gh+1/2*u^2

は、高さhで速度uを持つ物体が、どこまで上れるか(h0)を表しています。ここで、高さを温度と読み変えれば、静温と全温の関係になります。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング