工学部で多様体の理論を扱うことはあるのでしょうか？

趣味で多様体を勉強中です。従いまして、多様体とは何か？を、まだ漠然としか、理解してないです。

そこで、教えて頂きたいのですが、工学部で多様体の理論を扱うことはあるのでしょうか？

具体的に、どのような計算に使うのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/28 12:06

No.1がどうも理解されていないようなのでもうちょっと追加。

　系の状態を簡潔に表すために、複数のパラメータの組を使うと、「パラメータの組が取りうる値全部」からなる空間を考えていることになる。系やその表し方（パラメータの選び方）によってこの空間が構造を持つようになる。単に各点がバラバラにあるわけじゃなく、連続的に移行できる「経路」が考えられるなら、それは(topologyの意味での)位相が入っているからこそです。多様体が発生するわけです。

> 「楽」に波を扱えるからです。

最も簡単な事例ですね。（ご質問の趣旨の観点では、「楽」かどうかは関係なし。）周波数が固定されている波を「sin成分の振幅とcos成分の振幅」と直交座標で表しても、極座標で「振幅と偏角」と表しても同じことっぽく思えるでしょう。しかし、原点やその付近がどうなっているかに注意すれば、それらの空間の構造は、前者は平面と同相（無限遠点を追加して完備化すれば、球面と同相）であり、後者は「無限長の円筒が1箇所だけ半径0に潰れているもの」と同相。一方、多様な周波数成分を含む周期的な波を表すパラメータ空間は、各点がフーリエ級数の係数の組に対応している無限次元空間です。
　ロボットアームのようなリンク機構の場合、関節それぞれにアクチュエータがあるなら、単に多次元トーラス面（関節が2つだけなら普通のドーナツ面）で表せる。しかし同じ機構でも「能動的に操作できるのはリンクの端点だけ」という場合（例えばエンジンのピストンにつながっているリンク）には、端点の位置だけを記述しても話にならず、空間構造が複雑になって「死点」という特異点が発生する。だからこういう話になると多様体としての構造が重要になってくるわけです。
　ANNのパラメータ空間もただのノッペリした多次元空間ではなくて構造を持ち、その空間の幾何学に基づいて、例えば「現状からどう学習を繰り返しても到達できない状態」があるのかどうか、という話ができる（「情報幾何学」）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

正直、残念ながら、ほとんど解らないです。
今まで浅く広く働いてきたつもりですが、技術系分野で、多様体の「た」の字も出なかったです。
（趣味の物理では、一般相対論でリーマン幾何学とか触れてますが、、）

＞ロボットアームのようなリンク機構の場合、関節それぞれにアクチュエータがあるなら、単に多次元トーラス面（関節が2つだけなら普通のドーナツ面）で表せる。

は？？？？訳がわからないです。汗。
技術系分野で、多次元トーラス面とか、聞いたことがないです。
もしかして、最先端の技術ではないでしょうか？
もしくは、超～専門的な分野ではないでしょうか？

正直言いますと、失礼ながら偏見で順番をつけると
１番　数学者
２番　物理学者
３番　電気関係の技術屋
４番　機械関係の技術屋
５番　その他の技術屋

と感じてました。でも、すごい賢い人は、どこにでも、いるのだと、偏見で感じました。

追伸

私の経験した世界で、多様体？？に一番、近い概念だと感じるのは、モーターのベクトル制御かもしれません。電機の世界では、一番難しい理論の１つだと感じます。

お礼日時：2024/04/28 14:29

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/27 15:51

あるっちゃあります。

抽象的なパラメータ空間を構成してその性質を調べる、ということがあります。例えば沢山の関節を持つロボットアームの先端をある場所から別の場所に移動させるための、各関節の動かし方（ただし、各関節にはそれぞれ可動範囲が決まっている）、ということを考えると、関節の自由度の数をNとして、各関節の角度はN成分のパラメータベクトルになる。そして、「取りうるパラメータの範囲」はN次元空間中の部分集合を形成するでしょう。あるいは、人工neural network(ANN)の各synapseの重みをパラメータとすると、ANNの取りうる状態は膨大な次元の空間中の部分集合になる。さて、ある状態から到達可能なのはどの部分か、あるいは何からの意味で最適（評価関数が最小）である経路は何か、どうしても通過しなくてはならない特異点は生じないか、などの問題を考えることができます。さらには、単なる「可動範囲」ではない制約条件やコスト（ペナルティ）関数をコミで考えることもできます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

電気の計算の場合、あえて虚数を使う理由は三角関数より指数関数の方が「楽」に波を扱えるからです。


https://www.beret.co.jp/uploads/2023/10/852-%E5% …


＞抽象的なパラメータ空間を構成してその性質を調べる、

それは、電気の計算で三角関数の代わりに虚数を使えば、「楽」になるような感じでしょうか？
それとも、抽象的なパラメータ空間とかで、多様体の理論を使わないと計算ができないのでしょうか？

お礼日時：2024/04/27 17:26