
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
S と S’ が囲う領域を V とすると、
発散定理より
∫∫∫[V] divA dxdydz = ∫∫[S+S’] A・n dS
= ∫∫[S] A・n dS + ∫∫[S’] A・n dS.
A = (z,x,y) だから、
divA = ∂z/∂x + ∂x/∂y + ∂y/∂z
= 0 + 0 + 0 より
∫∫∫[V] divA dxdydz = ∫∫∫[V] 0 dxdydz
= 0.
よって、
∫∫[S] A・n dS = ∫∫∫[V] divA dxdydz - ∫∫[S’] A・n dS
= 0 - ∫∫[S’] A・n dS
です。
S’ 上では n = (0,0,-1) なので、
A・n = (z,x,y)・(0,0,-1) = -y.
よって、
∫∫[S’] A・n dS = ∫∫[x^2+y^2=a^2] (-y) dxdy
= ∫∫[0≦r≦a, 0≦θ<2π] (-r sinθ) rdrdθ ;極座標変換
= ‐ ∫[0≦r≦a] r^2 dr ∫[0≦θ<2π] sinθ dθ
= ‐ { (1/3)a^3 - (1/3)0^3 }{ -cos(2π) - (-cos0) }
= ‐ { (1/3)a^3 }{ -1 + 1 }
= 0.
以上より、
∫∫[S] A・n dS = 0.
0 でいいんじゃないですかね。
No.2
- 回答日時:
一見してワケワカラン話だなと。
> 原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分をS
てことは半径aの半球(中身全部含む)がS。
どこが「面積分の問題です」なのさ。
> 円x^2+y^2=a^2をS’
すなわち、z軸を中心軸とする半径aの(無限に長い)円柱の側面がS'。
S'なんて、写真の積分とは全く関係なし。
なんじゃこりゃ。
さては問題を正しく書いてないでしょう。ひょっとして、
Sは「原点を中心とする半径aの球の表面のうち、z≧0の部分」
S'は「z=0の平面上にある、x^2+y^2≦ a^2 の円盤」
とし、ついでに
Vを「原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分(つまり半球)」
S''を「Vの表面」
とすると、
S'' = S∪S'
であり、そう思うとようやく写真の式は面積分を表すことになって、No.1がお書きの話が通じる。(いや、もしかして出題者は、上記のSではなく、むしろS''を積分範囲にしろというつもりなのかも知れない。)
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