
1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
(条件:面積分と極座標を用いなければならない)
2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
(条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)
この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。
よろしくお願いします!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.
1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS
なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.
また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.
以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.
2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より
∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.
で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.
したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.
非常に分かりやすい説明をありがとうございます。
おかげさまで理解できました。
特に、2の底面に対してどういった理論で0になるのかを丁寧に書いていただいたことに非常に感謝しています。
ありがとうございました!
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
みんなに挑戦してほしい「色彩検定」
これまで多くの方々が受検したが「色彩検定」。その目的や活用法は人それぞれ。今回は、色彩検定に影響を受けた男女3名にインタビュー。
-
球面上の面積分について
物理学
-
ベクトル解析の面積分
数学
-
面積分の問題です。
数学
-
4
面積分
物理学
-
5
面積分はなにをしてるの?
数学
-
6
単位法線ベクトルの問題なんですが。。。
数学
-
7
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
8
導体球殻の電位
物理学
-
9
ベクトル解析の面積分がわかりません。
数学
-
10
ベクトル解析で半球の標準的な向きを与えるパラメータ表示p(u,v)を教えてください。 x^2+y^2
数学
-
11
球の体積を求めるときの積分範囲について
数学
-
12
ベクトル場の面積分
数学
-
13
面積分の問題です。 原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分をS,円x^2+y^2=a^2をS’。
数学
-
14
放物面 z=x^2+y^2、0<=z<=2の曲面積の求め方を教えてください!
数学
-
15
面積分の計算
数学
-
16
ベクトル場の面積分の問題です。
数学
-
17
単位法線ベクトルの求め方
数学
-
18
e^-2xの積分
数学
-
19
重積分について
数学
-
20
回転放物面 z=x^2+y^2 の面積を求める。
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
人気Q&Aランキング
-
4
f(x)=|sinx| のフーリエ展開が...
-
5
ベクトル場の面積分に関してです
-
6
離散フーリエ変換(DFT)の実数...
-
7
sinθ―√3cosθ=a(θ+α)の形にした...
-
8
最大値・最小値を求める問題に...
-
9
日本数学オリンピック2000年予...
-
10
y=sinx (0<x<2π) y軸回転の体積
-
11
sin(π+x)は、-sinx になりますか?
-
12
渦巻きの数式を教えてください...
-
13
重積分∫∫_D √(a^2 - x^2 - y^2)...
-
14
数学Ⅱの三角関数の合成のαの値...
-
15
テイラー展開
-
16
2変数関数の最大値・最小値
-
17
数学の関数極限の問題を教えて...
-
18
極座標による重積分の範囲の取...
-
19
sin1,sin2,sin3,sin4の大小を比...
-
20
教えてください!数学の問題です
おすすめ情報
公式facebook
公式twitter