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数学

(x^2-y^2)/(x^2+y^2)の(x,y→0,0)のときの極限はどう求めるか教えて欲しいです。

A 回答 (4件)

その式で(x,y→0,0)って条件なんで「解は無い」が正解になりますね。



何か条件を忘れていませんか?
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求まらない。

一変数でも右極限と左極限が一致しないと
極限がもとまらないように
2変数では、(0、0)に至る無数の経路で全ての極限値が一致しないと
いけない。この関数はそうならない。
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「(x,y)→(0,0)の極限値」とは、「どんな経路で(0,0)に近づくかに関係なく、ひとつの有限の値に収束するとき、その値」ってことです。


 こ質問の場合(No.1がお示しの通り)「どういう経路で(0,0)に近づくか」に依存して収束値が異なる。これはすなわち、「(x,y)→(0,0)の極限値」は存在しない、ってことです。

 実際どうなってるんだか、極座標にしてみるとよくわかるでしょう。
  x = r cosθ, y=r sinθ
と変換すると、
  与式 = ((r cosθ)^2 - (r sinθ)^2) / ((r cosθ)^2 + (r sinθ)^2)
    = cos(2θ)
つまり与式は、rとは無関係に、ただθだけに依存して-1〜1の範囲の値になる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!

お礼日時:2023/06/07 10:21

(x^2-y^2)/(x^2+y^2)



lim_{x→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
=lim_{x→0}-y^2/y^2
=-1

lim_{y→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
=lim_{y→0}x^2/x^2
=1≠-1=lim_{x→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

だから

lim_{x,y→0,0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)は存在しない
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