数学 (x^2-y^2)/(x^2+y^2)の(x,y→0,0)のときの極限はどう求めるか教えて欲し

数学

(x^2-y^2)/(x^2+y^2)の(x,y→0,0)のときの極限はどう求めるか教えて欲しいです。

No.4 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/06/07 09:56

その式で(x,y→0,0)って条件なんで「解は無い」が正解になりますね。

何か条件を忘れていませんか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/07 07:24

求まらない。

一変数でも右極限と左極限が一致しないと
極限がもとまらないように
2変数では、(0、0)に至る無数の経路で全ての極限値が一致しないと
いけない。この関数はそうならない。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/07 05:16

「(x,y)→(0,0)の極限値」とは、「どんな経路で(0,0)に近づくかに関係なく、ひとつの有限の値に収束するとき、その値」ってことです。

　こ質問の場合（No.1がお示しの通り）「どういう経路で(0,0)に近づくか」に依存して収束値が異なる。これはすなわち、「(x,y)→(0,0)の極限値」は存在しない、ってことです。

　実際どうなってるんだか、極座標にしてみるとよくわかるでしょう。
　　x = r cosθ, y=r sinθ
と変換すると、
　　与式 = ((r cosθ)^2 - (r sinθ)^2) / ((r cosθ)^2 + (r sinθ)^2)
　　　　= cos(2θ)
つまり与式は、rとは無関係に、ただθだけに依存して-1〜1の範囲の値になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2023/06/07 10:21

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/07 04:01

(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

lim_{x→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
=lim_{x→0}-y^2/y^2
=-1

lim_{y→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
=lim_{y→0}x^2/x^2
=1≠-1=lim_{x→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)

だから

lim_{x,y→0,0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)は存在しない