No.3ベストアンサー
- 回答日時:
極限は分かりませんが範囲は以下の通り。
与式をAとすると
logA=Σ[k=1,∞] log(1-1/2^k)
x-x²<log(1+x)<x-x²/2 (-0.5<x<0)
なので
Σ[k=1,∞] (-1/2^k-1/4^k)<logA<Σ[k=1,∞] (-1/2^k-(1/2)/4^k)
このとき、x=-1/2^k として
Σ[k=1,∞] x=Σ[k=1,∞] (-1/2^k)=-(1/2)/(1-1/2)=-1
Σ[k=1,∞] x²=Σ[k=1,∞] (-1/4^k)=-(1/4)/(1-1/4)=-1/3
だから
logA≧-1-1/3=-4/3 → A≧0.263
logA≦-1-(1/3)/2=-7/6 → A≦0.311
この回答へのお礼
お礼日時:2022/06/06 15:24
ご回答ありがとうございます。
単調減少なので、求めて下さったA≧0.263とNo.1さんのn=12 で 0.266…から収束は結構早そうという感じですね。
No.2
- 回答日時:
Π[k=1→∞] (2^k - 1)/2^k ですね。
Π[n=1→∞] (1 + a_n) が収束する条件は
Σ[n=1→∞] |a_n| が収束することです。
今回の場合、
Σ[n=1→∞] 1/2^n が収束するので
Π[k=1→∞] (1 - 1/2^k) も収束しますが...
値を求めるのは、難しいですね。
ちな、
lim[n→∞] Σ[k=1..n] b_k が収束するために
lim[n→∞] b_n = 0 が必要条件であったのと同様に、
lim[n→∞] Π[k=1..n] b_k が収束するためには
lim[n→∞] b_n = 1 は必要条件です。
しかし、
lim[n→∞] b_n = 1 だから
lim[n→∞] b_n = 0 でないとは言えません。
例えば、 b_n = e^(-1/√n) とか。
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