1/2 * 3/4 * 7/8 * 15/16* ... * (2^n - 1)/2^n の極限

1/2 * 3/4 * 7/8 * 15/16 *...* (2^n - 1)/2^n という式（*は積の記号）において、nを無限大に飛ばしたときの極限値は求められるでしょうか。
nをだいぶ大きくしても0.28ぐらいで、0にはならないような感じがします。

質問者からの補足コメント

• 最も詳しく分析して下さったのでベストアンサーにさせていただきます。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/09 23:06

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/06/06 11:20

＞nをだいぶ大きくしても0.28ぐらいで

n=10 で 0.27… , n=12 で 0.266… で、
未だ 小さな数になりますが、
絶対 0 には成りません。
n → ∞ で (2^n-1)/2^n=1 ですから。

極値を 具体的な数で 表す事は、出来ないと思いますよ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
そうですか…。表せないことを示すことはできないので、その可能性もあると思っています。

お礼日時：2022/06/06 11:25

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/06 14:16

Π[k=1→∞] (2^k - 1)/2^k ですね。

Π[n=1→∞] (1 + a_n) が収束する条件は
Σ[n=1→∞] |a_n| が収束することです。
今回の場合、
Σ[n=1→∞] 1/2^n が収束するので
Π[k=1→∞] (１ - 1/2^k) も収束しますが...
値を求めるのは、難しいですね。

ちな、
lim[n→∞] Σ[k=1..n] b_k が収束するために
lim[n→∞] b_n = 0 が必要条件であったのと同様に、
lim[n→∞] Π[k=1..n] b_k が収束するためには
lim[n→∞] b_n = 1 は必要条件です。
しかし、
lim[n→∞] b_n = 1 だから
lim[n→∞] b_n = 0 でないとは言えません。
例えば、 b_n = e^(-1/√n) とか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。収束についてはよく分かりました。
やはり難しいですか…。

お礼日時：2022/06/06 15:21

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/06/06 14:41

極限は分かりませんが範囲は以下の通り。

与式をAとすると
　logA=Σ[k=1,∞] log(1-1/2^k)

　x-x²<log(1+x)<x-x²/2 (-0.5<x<0)
なので
　Σ[k=1,∞] (-1/2^k-1/4^k)<logA<Σ[k=1,∞] (-1/2^k-(1/2)/4^k)

このとき、x=-1/2^k として
　Σ[k=1,∞] x=Σ[k=1,∞] (-1/2^k)=-(1/2)/(1-1/2)=-1
　Σ[k=1,∞] x²=Σ[k=1,∞] (-1/4^k)=-(1/4)/(1-1/4)=-1/3
だから
　logA≧-1-1/3=-4/3 → A≧0.263
　logA≦-1-(1/3)/2=-7/6 → A≦0.311

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
単調減少なので、求めて下さったA≧0.263とNo.1さんのn=12 で 0.266…から収束は結構早そうという感じですね。

お礼日時：2022/06/06 15:24