f(x,y)=x^2-2xy^2+y^4-y^5 この関数の極値や鞍点の求め方を教えてください！ 答

f(x,y)=x^2-2xy^2+y^4-y^5
この関数の極値や鞍点の求め方を教えてください！

答えは、極値はなし、鞍点(0,0,0)になるみたいです。

自分でも解きましたが、x=0,y=0の場合、H(ヘッシアン)=2×0-0^2=0となり、鞍点にはならないのではないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/13 22:05

f = x^2 - 2xy^2 + y^4 - y^5.

停留条件は、
∂f/∂x = 2x - 2y^2 = 0,
∂f/∂y =　- 4xy + 4y^3 - 5y^4 = 0.

∂f/∂x = 0　より x = y^2 を
∂f/∂y = 0 へ代入して - 5y^4 = 0.
すなわち y = 0.
よって x = y^2 より x = 0.
停留点は (x,y) = (0,0) だけである。

(x,y) = (0,0) 近傍での f の2次近似が
f = x^2 + R,
lim[(x,y)→(0,0)] R/(√{x^2+y^2})^2 = 0.
だから、
(x,y) = (0,0) は広義極小。
鞍点じゃないよ？

へッシアンが 0 のときは
そこで情報が落ちてしまうけれど、
行列式ではなくヘッセ行列そのものを見れば、
それが 0 行列でなければ情報が残っている。

∂^2f/∂x^2 = 2,
∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x = - 4y,
∂^2f/∂y^2 =　- 4x + 12y^2 - 20y^3.
より、
(x,y) = (0,0) での f のヘッセ行列は、
　　　2　　　0
　　　0　　　0.
この行列の固有値は 2 と 0.

固有値が全て正の場合が、(狭義)極小点。
固有値が正または 0 の場合が、広義極小点。
固有値が全て負の場合が、(狭義)極大点。
固有値が負または 0 の場合が、広義極大点。
固有値に正と負が両方ある場合が、鞍点。
鞍点は固有値 0 を持ってもいい。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/15 20:37

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/11/13 21:35

fx=2x-2y²=0 → x=y²・・・・①

fy=-4xy+4y³-5y⁴=y(-4x+4y²-5y³)=0 → y=0 or (-4x+4y²-5y³)=0・・・・②
➁のy=0とすると、①から x=0
➁の(-4x+4y²-5y³)=0に①を入れると、y=0となり、➀から x=0
いずれにしても、停留点は (x,y)=(0,0) しかない。

fxx=2, fyy=-4x+12y²-20y³, fxy=-4y
(fxxfyy-fxy²)(0,0)=0 なので極値の判定ができない。

f(x,0)=x²・・・・下に凸になっている。
f(x,y)=(x-y²)²-y⁵・・・・y=mxの曲線上では、f(x,mx)=(x-mx)²-m⁵x⁵となり、
yの正負によって、fの正負が変化する。つまり、y=0の近傍で変曲点であり、鞍点ではない。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/15 20:37