線形代数 奇数次の直交行列 固有値

以下の問題が分かりません。

Aを奇数次の直交行列でdetA=－１とするときー１は固有値であることを示せ。

よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/26 11:45

すでに今回の命題は証明されており, #5 で Tacosan さんも貴重なアドバイスを与えてくれました.

よって, 私が要求していることを「難しすぎる」と感じるなら, 質問者様の判断で締め切ってくださって構いません.

添付画像で, det A = -1 となる直交行列 A の例を 3 つ挙げておきました.
#2 の 1 ～ 9 はすべて不適切と書きましたが,
(a) の A により, 3, 4, 6, 8 が不適切で,
(b) の A により, 3, 4, 7 が不適切で,
(c) の A により, 9 が不適切であることが, それぞれ分かります.
#2 の 5 は, #4 の (4) と (5) に正解できれば, 間違いだと判明します.
ただし, まだ内積空間を習っていないなら, #4 は将来の課題として残し, 取り敢えずは無視してください.

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。

実はdetA=１のときに１が固有値であることの証明もわからず悩んでいました。

その質問も改めてしたいと思いますので、もしよろしければご回答をいただけると助かります。

お礼日時：2016/12/26 20:26

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/12/25 23:58

うん, 実は #1 を書くときからそこは気になってた. 「奇数次って条件, 全然関係ないじゃん」ってね. ただ, そこは正直わかんない. 問題を出した人間に聞くしかない.

問題にある 2個の「-1」が「1」になると, 奇数次が決定的に重要なんだけど.

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。

実はdetA=１のときに１が固有値であることの証明もわからず悩んでいました。

その質問も改めてしたいと思いますので、もしよろしければご回答をいただけると助かります。

お礼日時：2016/12/26 20:26

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/25 15:00

経済学をご専攻でしたか.

前回の質問を拝見して, 数学専攻の学生さんだと決め付けていました.
大変失礼致しました.

えっと, 1 ～ 9 のうち, 1 と 2 は解決済みと見なしていたのですが...
そうでもないようですね.
実は 1 ～ 9 は, すべて不適切（あるいは, 間違い）です.

1. -> この命題は真であると, すでに証明されました.
2. -> 直交行列 A が「奇数次」という条件は, 証明の際に使いませんでした.
3. -> 1 は A の固有値とは限りません.
6. -> 基礎体を複素数体 C とする場合, 直交行列の固有値は実数とは限りません.

いろいろ参考になると思いますので, 以下のことも考えてみてください.
直交行列 A が「奇数次」という条件を使うのは, (5) だけです.

複素数 λ を A の固有値, x をその固有ベクトルとするとき,
(1) エルミート内積 (Ax, Ax) を考えることにより, λ の絶対値を求めてください.
(2) λ の共役複素数は, A の固有値でしょうか.
(3) ここまでを踏まえて, -1 が A の固有値である理由を, 簡単に説明してください.
(4) 固有値 -1 の重複度に関して, どんなことがいえますか.
(5) 1 が A の固有値である場合, その重複度に関して, どんなことがいえますか.

疑問点がありましたら, 何でも遠慮なく質問してください.
できるだけ, 丁寧にお答えします.

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/25 10:52

けっこう, よく理解できていますね.

確かに, この命題を証明する際に, 直交行列 A が「奇数次」という条件は, まったく使う必要がありません.
ですから, 貴方の証明は, 減点される余地の無いものです.
ただ, 私が書いた 1 ～ 9 についても, 貴方の考えを聞かせてもらえないでしょうか.
ベクトルの内積や直交変換についても, 少しは触れておきたいので, まだ締め切らないでくださると助かります.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私が賛同できる(現時点で理解できている)のは1,2,3,6です。　

当方、文系(経済学部)の学生でして、線形代数はわからないことだらけです。

それでもなんとか努力して理解したいと思いますので、ご回答よろしくお願いします。

お礼日時：2016/12/25 12:41

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/24 05:16

すでに Tacosan さんが回答しているので, 私がしゃしゃり出るのは恐縮ですが...

こういう丸投げ質問の場合, 回答者は貴方の理解度を把握できないため, 適切な回答が難しいのです.
現時点で貴方がどこまで理解できているのか, 数式や言葉を使って説明するのが面倒でも, 番号だけなら書けますよね.

>Aを奇数次の直交行列でdetA=－１とするときー１は固有値である
上の命題に関して, 以下の 1 ～ 9 のうち, 貴方が賛同できるものの番号をすべて書いてください.
どれにも賛同できない場合は, 番号の代わりに「なし」と書いてくださるよう, お願いします.

1. この命題は偽だ
2. この命題は真であり, 直交行列 A が「奇数次」という条件が, 証明の鍵だ
3. -1 が A の固有値であるのは正しいが, 1 も A の固有値だ
4. -1 が A の固有値であるのは正しいが, その重複度が偶数であることも, 結論に加えるべきだ
5. 1 も A の固有値であるなら, 固有値 1 の重複度と固有値 -1 の重複度は, 等しいかもしれない
6. A の成分はすべて実数だから, A の固有値（特性根）もすべて実数だ
7. この直交行列 A は, 絶対に対称行列ではあり得ない
8. A の各成分は虚部が 0 の複素数と見なせるから, A をエルミート行列と考えることも可能だ
9. この直交行列 A が奇数次ではなく偶数次なら, det A = -1 になるはずがない

この回答へのお礼

言葉足らずで申し訳ありません。

固有値が－１であることを示すには|A+E|=0を示せばいい。

|A+E|=|t(A+E)|=|tA(A+E)|=|tA||A+E|=-|A+E|

自分ではここまでやりました。

ここから|A+E|=-|A+E|より、|A+E|=0としてしまうと、奇数次という条件がどこで関係してくるのかが分からなかったので質問しました。

お礼日時：2016/12/25 00:43

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/12/23 01:25

どこまでわかっていて, どこで困っている?

この回答へのお礼

言葉足らずで申し訳ありません。

固有値が－１であることを示すには|A+E|=0を示せばいい。

|A+E|=|t(A+E)|=|tA(A+E)|=|tA||A+E|=-|A+E|

自分ではここまでやりました。

ここから|A+E|=-|A+E|より、|A+E|=0としてしまうと、奇数次という条件がどこで関係してくるのかが分からなかったので質問しました。

お礼日時：2016/12/25 09:14