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次の理由(証明)を教えて下さい。
A=n次正方行列
λを固有値
Eを単位行列とします。
(1)λに対するジョルダン細胞の個数は、
dim(Ker(A-λE)) =n-rank(A-λE) に等しい。
つまり、1つの固有値λに対する独立なベクトルの本数は、その固有値に対する
ジョルダン細胞の個数に等しい。

(2)λに対するジョルダン細胞の最大次数は、最小多項式のλの次数に等しい。

(3)λに対する(m+1)次以上のジョルダン細胞の個数は、
rank(A-λE)^m ー rank(A-λE)^(m+1)

A 回答 (1件)

(3) から行きましょう。


行列 A のジョルダン標準形を J 、
その変換行列を P と置きます。J = (P^-1)AP.
A に対して J, P が存在することは、ここでは
証明せずに仮定します。

(A-λE)^m = {P(J-λE)(P^-1)}^m = P{(J-λE)^m}(P^-1)}
より、rank (A-λE)^m = rank (J-λE)^m です。
J-λE は、固有値は異なるものの、ブロック構造は J と
同じであるようなジョルダン標準形になっています。
ジョルダン標準形とは、ジョルダン胞をブロックに持つ
ブロック対角行列のことですが、
ブロック対角行列の m 乗は、ブロック毎に m 乗すればよく、
ブロック対角行列の rank は、各ブロックの rank の和です。

k 次ジョルダン胞の m 乗は、固有値が 0 でないとき rank = k、
固有値が 0 のとき rank = max{k-m,0} です。(m = 0 も含む)
これは、m 乗を具体的に成分計算してみれば判ります。
ジョルダン胞を J(λ,k) = λE+N と置いて、二項展開すると、
解りよいかもしれません。

m による階差 rank (A-λE)^m - rank (A-λE)^(m+1) は、
固有値 λ に属する各ジョルダン胞 J(λ,k) について
max{k-m,0} - max{k-m-1,0} を合計したもの …すなわち、
k-m ≧ 1 であるジョルダン胞の個数となります。これが (3)。

(3) で m = 0 とすると、固有値 λ に属するジョルダン胞
の個数は rank E - rank (A-λE) と判ります。これが (1)。

ブロック対角行列の多項式は、ブロック毎にその多項式へ
代入したものを並べたものになります。したがって、
最小多項式は、各ジョルダン胞を消去する最小次数の多項式です。

固有値 λ に属する次数 m のジョルダン胞は、k ≧ m のとき
(x-λ)^k によって消去されます。
よって、消去多項式は、各ジョルダン胞 J(λ,m) に対応して
因数 (x-λ)^m があることになり、その中で最小次数のものは、
λ に対する m の最大値を m' として、各 λ を m' 重根に持つ
多項式です。これが (2)。
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