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次の行列の単因子を求めよ。
(1)(2)は3×3行列、(3)は4×4行列
(1)
t+3,-1,3
4,t+2,-6
1,1,t-5
(2)
-2-t+4t^2,1+t-2t^2,2-2t^2
-2-2t+4t^2,1+2t-2t^2,2-t^2
-2+2t^2,1-t^2,2-t^2
(3)対角成分が左上からt^2,t(t+1),t(t-1),(t+1)^2でそれ以外は0

(1)は基本変形をして、
1,0,0
0,t-2,t+4
0,3t,t^2+5t+10
というところまで辿り着いたのですが其の先の変形がわかりません。

よろしくお願いします。

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行列 基本」に関するQ&A: 基本行列

A 回答 (1件)

基本変形は計算ミスをしやすいので、よほど慎重に計算しなければなりませんね。

しかし、ここまで、できていればあと一息です。(1)の続きは、2列目をー1倍して3列目に加える。2行目をー3倍して3行目に加える。その後は、2列目と3列目を入れ替えれば良いでしょう。
1,0,0
0,1,0
0,0,t^3-12t-20
となるでしょうか。
他の問題も同様にすればよいでしょう。頑張って下さい。

この回答への補足

(2)を計算してみたところ、
1,0,0
0,1,0
0,0,t^5-2t^4+4t^3+4t^2-6tとなりました。
ですが友人の解答は全然違っていまして…。
どこか計算に間違いはあるでしょうか?

また(3)ですがどのように計算すればいいか検討がつきません。
t^2ばかりの恐ろしい行列になってしまったのですが…。

補足日時:2007/01/28 01:43
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ありがとうございました。求まりました。

お礼日時:2007/01/27 23:23

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Q単因子論で(1,1)が必ず1になるのは何故?

僕の先生は、単因子論の基本変形を、以下のように書きました。
   (1) 行iと行jの入れ替え        
   (1') 列iと列jの入れ替え        
   (2) 行iに ある数a∈Rをかける   
   (2') 列iに ある数a∈Rをかける   
   (3) 行iに ある多項式をかけたものを別の行jに加える   
   (3') 列iに ある多項式をかけたものを別の列jに加える
これでは、
t-1  0 0
 0 t-1 0
 0 0  t-1
の要素(1,1)が1にできないと思います。
この場合、どう計算すればいいのか、お教え願います。

Aベストアンサー

陳謝と訂正:
A No.1 文中の「単因子」は「単元」に訂正して、読み返してもらえれば幸い。
(1,1) 成分が 1 にできない理由は、アレで合っているのですが…。

御質問の行列は、(1)~(3') の変形で (1,1) 成分を 1 にすることはできないし、
「単因子論」でも、そんなことができるとは言いません。
変形は質問の形でオワリで、だから、tE-A の単因子は (t-1, t-1, t-1) です。
恐らく、講義内容を誤解しているのでしょう。

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
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Qジョルダン標準形への変換行列の求め方について

この画像の問題の(2)のジョルダン標準形への変換行列Tの求め方なのですが、
定石どおりにλ=1-αが重根のため[A-(1-α)E]t=aとなる列ベクトルtを求めようとしましたが
t=c1[1 0 0]+c2[0 1 0]となってしまい求めることができませんでした。
次にジョルダン標準形Jは決定するためこれからTJ=ATより求めようとしたところ
これでも第1行目が決定せず求めることができませんでした。

回答を見ましたところTJ=JTよりTを決定していました。
回答は少し見にくいですがT=[a;(-3/4) (1) (0);b]となっておりました。

この求め方の意味がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか…
また私がやった定石どおりの方法でこの問題は解くことはできませんか?

どなたかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

とりあえず問題の T は忘れてふつうに
J = P^(-1)AP
の P を求めようとするなら, あなたのやった通りでできますよ.

まず 1-α に対する固有ベクトル [1, 0, 0] と -2 に対する固有ベクトル (略) はあってる. んで 1-α に対して一般化固有ベクトルがもう 1本あって, それは
[A-(1-α)E] x = [1, 0, 0]
の解として
x = [c, 1, 0]
が出てくる. これで合計 3本の (一般化) 固有ベクトルが得られたので, これをふつうに並べれば P になる.

と, #3 に書いてある.

Q代数学の質問です[準同型定理]

次の問題が与えられています。

整数nに対して、φ(n)=i^nと定める。ただし、iは虚数単位。

(1)φは加法群Zから乗法分C^xへの準同型写像であることを示せ。
(2)φの像と核を求めよ。
(3)φに準同型定理を適用するとどのようなことがわかるか。

このうち、(1)と(2)は解答できました。
そして(3)に入ったのですが、理解するのが難しいです。

「どのようなことがわかるか」
これはつまり、「どうして準同型定理を適用するのか」を聞いているのだと思います。
その意味や価値というものを調べてみても、書いてあるところが見つかりません。
どなたか、ご解説・ヒントをください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば更なる意味や価値も見えてくるかもしれませんが, 少なくともこのような問題を解く段階で出題者がそんなことを要求するとは思われません)

※これは余談ですが, 念の為, 一点前の質問に関連して, 初学者向けの注意をしておきます. 前回も二項演算が重要だというようなことを書きましたが, 群は集合と二項演算の組ですから, 本来は上の同型も Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} ではなく (Z/4Z, +) ~= ({1,i,-1,-i}, ⋅) というように群の演算を明記した上で書くべきです. ですが, 一々演算を明記するのは面倒だし, たいていは文脈から判断できるので, 省略して Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} というふうに書くことが多いのです.

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば...続きを読む

Qジョルダン標準形ってなんのため?

線形代数の本を読んでいると、後ろのほうにジョルダン標準形がでてきます。
書いてあることをなぞることはなんとかできるのですが、固有値の次にいきなり前触れもなく現れるので、これが
・どういう(歴史的)要請・経由で
・何のために
現れたのかがわかりません。

ジョルダン標準形の本質は何でしょうか?

Aベストアンサー

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
v(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
x’(t)=A・x(t)+v(t)としたときに
正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列になるならば
x(t)を簡単に求めることができます
しかし正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列にならなくても
正則行列PによってP^(-1)・A・Pがジョルダンの標準形になれば
少し複雑になりますが簡単にx(t)を求めることができます
本質が何打という質問は何回で答えることができる人はいないのでは?

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
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でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
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制御理論で使います
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Aを要素が定数の正方行列とし
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

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Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

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お願いします

Aベストアンサー

最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
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Q代数学の質問です(偶置換と奇置換の判別)

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
σ(5)より右側で5よりも大きい数の個数
σ(3)より右側で3よりも大きい数の個数
……
といった数え上げを行い、それが奇数になるか偶数になるかという機会的な方法で求まるらしいです。
そうすると、14個あるので、これは偶置換になると思うのですが、テキストにも乗っていないので、この方法は信用していいのか分からないです。

つきましては、次の二点を教えてください。

(1)上の問題が偶置換か奇置換かを判別する方法とその説明
(2)逆転数に着目するという方法が正答かどうか

お手数ですが、よろしくお願いします。

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
σ(5)より右側で5よりも大きい数の個数
σ(3)より右側で3よりも大きい数の個数
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Aベストアンサー

書き方が変ですが
[ 1234567 ]
[ 5312476 ]

の置換のことでしようか?

互換で置換を進めると

1234567

5234167
5324167
5314267
5312467
5312476

5回なので奇置換です。左から正しい数をつめてゆくだけ
なので、何も考えなくても直ぐに機械的に終ります。

Q大学の代数学の課題で困っています。

初めてです。
よろしくお願いします!

大学の代数学の課題が解けなくて困っています。
例題などもないため、比較などができません。
提出の期限が迫っており、内容理解よりも先にレポートの提出をしてしまいたいのでよろしくお願いします。

[1]
Gを群とする。任意のx,y∈Gに対して(xy)^2=x^2×y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

[2]
G=R-{-1}とし、演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。

(1)
集合Gはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、a,b∈Gならa*b∈Gとなることを示せ。

(2)
(G,*)は群になることを示せ。

(3)
3*x*2=5を満たすx∈Gを求めよ

[3]
正三角形の二面体群D6の自明でない部分群をすべて求めよ。

長くなりました。
醜い部分もあるかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139379225

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139465860

ところで, D_6 と S_3 の関係は, ご存知ですか.
多くの学生は知っていて, D_6 の自明でない部分群が4つというのは, 数秒で答えられるんですよ.
質問者様の場合, 基本があまり理解できていないようなので, D_6 の部分集合を書き出してみて, それら1つ1つが部分群かどうか, 御自身で調べることをお奨めします(正三角形の3つの頂点に, 1, 2, 3 と名前を付けます).
単位元を持たない部分集合は, 問題外ですね.
閉じているかどうか調べるには, 置換の積を正しく計算できる必要がありますが, 計算できない学生も少なくありません.
「位数 6 の群だから, 部分群の位数は 6 の約数 1, 2, 3, 6 で, 自明でない部分群の位数は 2 か 3 である」などと暗記しても, 置換の積を計算できないまま試験を受ければ, ひどい結果に終わるでしょう.

何か疑問があれば, 遠慮なく質問してください.

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139379225

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139465860

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