固有値・行列の疑問

共通固有値を持つ問題を解いたことはありますが、固有値と行列が共通な場合は、その行列にはどのようなものがあるのでしょうか？

例えば・・・、Aa=λa, Ab=λb の場合です。（Ａ：行列、λ：固有値、a,b：固有ベクトル)

自分で考えてみたのですが、A=λEの場合しか思いつきませんでしたが、これ以外に何かあるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/11/08 17:25

ひょっとして共通固有値って、重複度>1 の固有値のこと？

固有値の固有空間の次数が2以上のものを示せって言うことかな？

A=
8 2 2
1 7 1
1 1 7

の固有値は 10, 6 で 6 の重複度は 2

6の固有ベクトルは固有空間 x + y + z = 0 から適当な基底を抜いて

a=
1
1
-2

b=
-2
1
1

Aa=6a, Ab=6b になります。

お試しあれ。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/11/08 10:51

#1 同様何を言っているのかさっぱり分かりませんが, #1 をちょっとだけ訂正:

Aa=λa, Ab=λb
からは「a と b がともに A の固有値 λ に属する固有ベクトル」であるということしか言えません. 一般に 1つの固有値に対して 2本以上の独立な固有ベクトルがあっていいので, 「a と b が従属」はちょっと勇み足.

No.1 回答者： think2nd 回答日時： 2013/11/08 10:39

何を質問しているのか、意図がわかりません。

>例えば・・・、Aa=λa, Ab=λb の場合です。（Ａ：行列、λ：固有値、a,b：固有ベクトル)
　
から読み取れることは　ベクトルa,bが互いに従属であって、固有値λの定義を　述べているにすぎません。
　つまりどんな行列Aにも言えることです。