No.3ベストアンサー
- 回答日時:
【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。
【問題】
3つのベクトル、
A=(1,1,1)
B=(1,-2,3)
C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。
【解答】
3つのベクトル、
A=(1,1,1)
B=(1,-2,3)
C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
xA+yB+zC=(0,0,0)
(x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
xA+yB+zC
=x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
=(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
=(0,0,0)
より、
x+y+2z=0 … (1)
x-2y+z=0 … (2)
x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
3y+z=0
∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
(a-2)x+(a-6)y=0
∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
{-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
-6+4/(a-2)=0
∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
x=5, z=-3
であるから、
xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
a=8/3 … (Ans.)
参考URL:http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.h …
No.4
- 回答日時:
#2ですが, 補足訂正です.
#2の回答中
>となる実数s,tが存在することである.
と書きましたが, この問題においては十分なのですが,定義からすると,完全に一般的には
>となる定数s,tが存在することである.
とするべきでした(複素数s,tでスカラー倍を考えている).
訂正いたします.
また#3のご回答中
>線形独立(linear independent)、
>線形従属(linear dependent)であるという
とありますが,(多くの人が参照するので,正確を期するために申し添えると)
それぞれ
線形独立(linearly independent) [←線形独立な]
線形従属(linearly dependent) [←線形従属な]
となります.
ただし,independent,dependentはいずれも品詞は形容詞で,(名詞形ではありません)ほとんどこの形容詞形で表現されます.
No.2
- 回答日時:
[別解]
与えられた3つのベクトルが1次従属である条件は
→A≠→0, →B≠→0 を考えると
→C=s(→A)+t(→B)
となる実数s,tが存在することである.
これを,s,t,aの連立方程式と見て解けばaが決まる.
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