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一次従属の問題

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  • 質問者：mimimaru
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

「３個のベクトル
　Ａ＝（１，１，１）
　Ｂ＝（１，－２，３）　
　Ｃ＝（２，１，ａ）　が1次従属であるためには，ａはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。　　

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A 回答 (4件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： Mell-Lily
  • 回答日時：

【線形独立と線形従属の定義】


K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
　a1x1＋a2x2＋・・・＋anxn=0
を満たす ak (k＝1,2,・・・,n) が、
　a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
　A=(1,1,1)
　B=(1,-2,3)
　C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
　xA+yB+zC=(0,0,0)
　(x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
　xA+yB+zC
　=x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
　=(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
　=(0,0,0)
より、
　x+y+2z=0 … (1)
　x-2y+z=0 … (2)
　x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
　3y+z=0
　∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
　(a-2)x+(a-6)y=0
　∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
　x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
　x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
　{-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
　x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
　-6+4/(a-2)=0
　∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
　x=5, z=-3
であるから、
　xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
　a=8/3 … (Ans.)

参考URL：http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.h …
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。
どうやって解けばいいかが良くわかりました。

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お礼日時：2002/11/05 20:33

No.4

#2ですが, 補足訂正です.


#2の回答中
＞となる実数s,tが存在することである.
と書きましたが, この問題においては十分なのですが，定義からすると，完全に一般的には
＞となる定数s,tが存在することである.
とするべきでした(複素数s,tでスカラー倍を考えている)．
訂正いたします．

また＃３のご回答中
＞線形独立(linear independent)、
＞線形従属(linear dependent)であるという
とありますが，（多くの人が参照するので，正確を期するために申し添えると）

それぞれ
線形独立(linearly independent)　[←線形独立な]
線形従属(linearly dependent)　[←線形従属な]
となります．

ただし，independent，dependentはいずれも品詞は形容詞で，（名詞形ではありません）ほとんどこの形容詞形で表現されます．
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この回答へのお礼

補足まで加えてくださって、とても参考になりました。
ありがとうございました。

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お礼日時：2002/11/05 20:37

No.2

[別解]


与えられた3つのベクトルが1次従属である条件は
→A≠→０, →B≠→０ を考えると
→C＝s(→A)+t(→B)
となる実数s,tが存在することである.
これを,s,t,aの連立方程式と見て解けばaが決まる.
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No.1

  • 回答者： nominomi
  • 回答日時：

　この場合三つのベクトルが一次独立である条件はこのベクトルの行列式が0でない。

一次従属であるためには行列式が0であるということになります。
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この回答へのお礼

早い回答、ありがとうございました。

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お礼日時：2002/11/05 20:35

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 b→≠0→
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a→平行b→ではない

とかいてありますが・・・・

教えてください。

Aベストアンサー

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない．
線形代数（高校ならベクトル）の中心概念です．
ただし，高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので，表に出てないだけです．

一次独立というのは

二つのベクトルa，bと係数k，lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを意味し
また
行列
a1 b1
a2 b2
の行列式が0ではないことを意味します
このように高校の（平面）ベクトルの範囲では
「連立方程式の言葉」や
「行列式の言葉」に簡単に直せてしまうので
あまり表立って出てこないのです

一次従属は「一次独立ではない」というのが定義です
これを書き下せば

同時に0とはならない適当な係数k, lを選べば
k a + l b = 0 とすることができる

ということになって，これは（平面）ベクトルの
言葉でいえばaとbが平行ということです
連立方程式の言葉でいえば
・解が無数に存在する
行列式の言葉でいえば
・行列式が0になる
ということになります．

一次変換まで考えたりして，
まだまだいろいろあるのですが，
高校のベクトル範囲なら
これくらいで十分でしょう

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない．
線形代数（高校ならベクトル）の中心概念です．
ただし，高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので，表に出てないだけです．

一次独立というのは

二つのベクトルa，bと係数k，lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
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k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
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こちらで質問させていただきます。

問題
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a1=(1,2,3)
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よろしくお願いします。
途中計算もあるとありがたいです。

Aベストアンサー

2次元空間上の点は、独立した2本のベクトルを使って表す事が知られています。
3本目のベクトルを導入しても、
それは結局最初の2本のベクトルを使って表現できてしまいます(線形従属)。
同様に3次元空間上の点は、独立した3本のベクトルを使って表す事が知られています。
4本目のベクトルを導入しても、
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> 私の計算間違いなのかも知れませんが、教科書側のミスだったら悔しいので
> こちらで質問させていただきます。

一応線形従属である事は計算で確認済みです。
34a1 + 81a2 + 58a3 - 9a4 = 零ベクトル
となっています。

> 途中計算もあるとありがたいです。

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たとえば

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Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
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→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
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分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。

Ｂ
（１）ｃ＝（１４，１２）
（２）ｄ＝（－３，１）
（３）ｅ＝（１，１）

Aベストアンサー

こんにちは！
難しく考えないで、
＞分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。
　　　　　　　　　　　　　　↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ！
まず
＞（１）ｃ＝（１４，１２）

ｃ＝ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
ｘ成分、ｙ成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b　　　というかたちであらわせる、ということになります。

＞（２）ｄ＝（－３，１）

これも同様にしましょう。
d=ia+jbとおきましょう。すると、ベクトルの成分であらわすと
(-3,1)=i(1,3)+j(4,2)
となるので、それぞれ
-3=i+4j
1=3i+2j
となります。これらを解いて
i=1,j=-1
したがって、ベクトルｄは
d=a-b とかけることになります。

＞（３）ｅ＝（１，１）

これも同様に
e=ia+jb　とおきます。
(1,1)=i(1,3)+j(4,2)
1=i+4j
1=3i+2j
これを解いて
i=1/5,j=1/5
したがって、ベクトルeは
e=1/5*a+1/5*b とかけることになります。

こんにちは！
難しく考えないで、
＞分かるといえば、　ａ＝｛ａ(x) i + ｂ(y) j｝と表せるくらいなんです。
　　　　　　　　　　　　　　↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ！
まず
＞（１）ｃ＝（１４，１２）

ｃ＝ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
ｘ成分、ｙ成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b　　　というかたちであらわせる、...続きを読む

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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。）

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう？
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて１になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
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（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
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Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって，
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき，λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから，rank(A-λI)=1
よって，固有空間は1次元
だから，本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです．
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます．

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様．A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で，計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります．

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
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ａ＝(１，２，１）にもｂ＝(２、－１，１)にも直交する単位ベクトル
を求めたいのですが、求めたい単位ベクトルをｘと置いて
ａ・ｘ＝０、ｂ・ｘ＝０という風にしてみたのですがうまくいきません。
計算過程を含めご教授していただける方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>>　求めたい単位ベクトルをｘと置いて.。

ｘ=(x,y,z)
　単位ベクトは、大きさが１だから、
｜ｘ｜＝１　と書けます。
　　　これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]＝１
　　　　両辺を２乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]＝１・・・（Ａ）

また、
>>　ａ・ｘ＝0、 ｂ・ｘ＝０

　　　是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0, 　(2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・（Ｂ）,　2x-y+z=0　・・・（Ｃ）　　　　　

　　　（Ｃ）－（Ｂ）で、
　　　x=3y　　　これを、（Ｂ）に代入して、
　　　z=-5y

　　　x,z　が y　で表されているのを確認して、
　　　２式を（Ａ）に入れて、

　9(y^2)+(y^2)+25(y^2)=1
　　　　　　　　　　　35(y^2)=1
　　　　　y=(1/√35), (-1/√35)

　　　　即ち求めたい単位ベクトルは、
　　(3/√35, 1/√35, -5/√35)　、
　　(-3/√35, -1/√35, 5/√35)　。

>>　求めたい単位ベクトルをｘと置いて.。

ｘ=(x,y,z)
　単位ベクトは、大きさが１だから、
｜ｘ｜＝１　と書けます。
　　　これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]＝１
　　　　両辺を２乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]＝１・・・（Ａ）

また、
>>　ａ・ｘ＝0、 ｂ・ｘ＝０

　　　是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0, 　(2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・（Ｂ）,　2x-y+z=0　・・・（Ｃ）　　　　　

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(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
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(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W

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宜しくお願いします。

R^2内の次の直線、曲線がR^2の部分空間かどうか判定せよ。

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(2) y=2x+1を満たすベクトル[x;y]の全体
(3) y=x^2を満たすベクトル[x;y]の全体

…という問題で、本の答えはそれぞれ、

(1) 部分空間
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
どうやって解いたのかいまいち理解できていません。

多分、次の定理を使うんだと思います:
ベクトル空間Vの部分集合Wが部分空間であるための必要十分条件
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Aベストアンサー

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。
定理と定義の違いは重要です。
（1）は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね？
問題に与えられた３つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
を満たすかどうか考えて見ましょう。
良いですか？　どちらか片方じゃなくて両方満たさなくては部分空間とは言えないんですよ。
逆に言うと、どちらか片方でも満たさなければ部分空間ではないわけです。

まず(1)の図形：
二つのベクトル a = (x_1,y_1) と b = (x_2,y_2) が W の元だとしましょう。これは、y_1 = 3x_1, y_2 = 3x_2 が成り立つという事です。
では、a + b = (x_1 + x_2,y_1 + y_2) はどうでしょう？
もし、
y_1 + y_2 = 3(x_1 + x_2)
が成り立てば、性質(1)が満たされる訳ですが、成り立たないときは満たされない訳です。
次に、性質(2)はどうでしょう。
λa = (λx_1,λy_1) ですから、
λy_1 = 3(λx_1)
が成り立てば、性質(1)が満たされ、成り立たない場合は満たされないわけです。

次に(2)の図形…
a = (x_1,y_1), b = (x_2,y_2) が(2)の図形にあるのは、
y_1 = 2x_1 + 1 と y_2 = 2x_2 + 1
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a + b が性質(1)を満たすとは、
y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) + 1 が成り立つという事です。
これは本当ですか？

(3)の図形も同じように考えてみましょう。

ところで、質問者さんは例題が本に載っていないと仰いますが、先生は授業中に例題を見せてくれませんでしたか？

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊＊本当に授業を真面目に聞いていましたか？＊＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

それから、次回こういう質問があったらネットで聞いたりしないで、先生のところに聞きに行きましょう。
必ず、よろこばれますから。
先生って、質問に来てくれる学生はかわいいもんです！

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。
定理と定義の違いは重要です。
（1）は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね？
問題に与えられた３つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
を満たすかどうか考えて見ましょう。
良いですか？　どちらか片方じゃなくて両方満たさなくては部分空間とは言えないんですよ。
逆に言うと、どちらか片方でも満たさなければ部...続きを読む

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
（英語）
curly d,　rounded d,　curved d,　partial,　der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
（日本語）
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
工学系の私は，式の中では「デル」，単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが，あとは寡聞にして知りません。

（３）
初心者へのお勧めとは，なかなかに難問ですが，ひと通り教えておいて，式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

（４）
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは，あったら私も教えて欲しいです。

（２）
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは，質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

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二平面の交線の方程式

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解答よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

（１）ｘ＋２ｙ－ｚ－４＝０
ｘ－ｙ＋２ｚ－４＝０
をｘ，ｙの連立方程式として解くと
ｘ＝－ｚ＋４　（ｚ＝-ｘ＋４）
ｙ＝ｚ
よって-x+4=y=z

（２）　（－１，１，１）はこの交線の方向ベクトル
　　　（４，０，０）はこの交線上にあり，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（４，－１，０）
　　　２つのベクトル（－１，１，１），（４－１，０）に垂直なベクトル（１，４，－３）を求めて，これが求める平面の法線ベクトル。
求める平面上の任意の点を（ｘ，ｙ，ｚ）とすると，これと（０，１，０）を結ぶベクトル（ｘ，ｙ－１，ｚ）は
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Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x　は、　t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

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e^-2x　の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

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