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A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
>>(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。
>三角形ABC の周および内部の点 P の式表示を求めれば、(1) の手法で解決できるでしょう。
煩雑てはありそう。
「三角形ABC の周および内部の点 P」だけでも。
P = A + s{ (B-A) + t(C-B+A) } ただし 0≦s, t≦1
らしい。
No.4
- 回答日時:
>空間内に原点Oと3点A(5,1,-1),B(3,2,2),C(3,-1,-1)が与えられている。
以下、目への負荷軽減のためベクトルを省略記載。
原点 O から A への OA を、単に A と記す。
原点 A から B への AB はそのまま。AB = OB-OA だが、その始点は原点 O であることに注意。
>(1)Aから直線BCに下した垂線の足の座標を求めよ。
まず、直線BC 上の点 Q の式表示は?
Q = C+k*(B-C) = (3,-1,-1) + k*(0,3,3) …(1)
A と Q との距離は?
Q-A の内積の平方根。
Q-A = (-2,-2,0) + k*(0,3,3)
<Q-A・Q-A> = 8-12k+18k^2 = 2*(4-6k+9k^2)
= 2*{ (3k-1)^2 +3} …(2)
A から最短距離の Q は?
(2) によれば、k=1/3 の点。
(1) へ代入すると、
Q = (3,-1,-1) + (1/3)*(0,3,3) = (3,0,0)
>(2)点Pが三角形ABCの周および内部を動くとき、|ベクトルOP|の最小値を求めよ。
三角形ABC の周および内部の点 P の式表示を求めれば、(1) の手法で解決できるでしょう。
No.3
- 回答日時:
(1)の垂線の足Hの座標は|ベクトルOP|の最小値を与える点Pの座標でもあって、
それとなく(2)の|ベクトルOP|の最小値を与える点Pの位置をほのめかしていますね。
>(1)の誘導から(2)をどう解いたらよいかわかりません。
実はこの問題には「3垂線の定理」(参考URL参照)の考え方が要求されます。
添付図の原点O,点A,B,Cの位置と△ABCが含まれる平面ABCに原点から下ろした垂線OD
とDから直線BCに下ろした垂線の足が「(1)の点Aから直線BCに下ろした垂線の足」Hと
一致していることを確認しながらご覧ください。
平面ABCに原点Oから下ろした垂線ODと点Dと直線BCに下ろした垂線DHの足Hは原点Oから
直線BCに下ろした垂線の足と一致する(3垂線の定理)ことから△ODHが直角三角形であり
同時に、辺OHが原点Oと直線BCとの最短距離であることがわかります。
また点Dは△ABCと同一平面上にあるので、点Dと動点Pの存在範囲である△ABCの周および内部の領域の最短距離点は図から辺BC上にあることがわかります。点Dと辺BC上の最短点は
点Dから直線BCに下ろした垂線の足H(これは辺BC上に存在します)ですからDPの最小値は
DHとなります。このHの位置に対して3垂線の定理から直角△ODHの辺OHが原点Oと動点Pの
距離である「|ベクトルOP|」が最小となる位置になります。
したがって、
|ベクトルOP|の最小値=|ベクトルOH|
となるから
点Hの座標がわかれば、最小値が計算できますね。
点Hの座標(3,0,0)の求め方はわかりますか?
幸いなことに点Hはx軸上の点なので
|ベクトルOH|=OH=3 はすぐわかりますね。
点Dの求め方は
ベクトルOD=(x,y,z)とおいて
平面ABC=ベクトルOA+sベクトルAB+tベクトルAC=(5-2s-2t,1-2s+t,-1+3t)
上に点Dがあることから
(5-2s-2t,1-2s+t,-1+3t)=(x,y,z) ...(A)
ベクトルAB⊥ベクトルOD、ベクトルBC⊥ベクトルODから
ベクトルの内積=0の関係より
2x-y-3z=0,3y+3z=0 ...(B)
(A),(B)より
D(1,-1,1),s=4/3,t=2/3
と求まります。
点Dから辺BCに下ろした垂線の足の座標(実は(1)で求めた点Hの座標と一致)は
ベクトルDH⊥ベクトルBCの条件から
ベクトルDHとベクトルBCの内積=0が成り立つこと
とHが直線BC上にあること
を使えばH(3,0,0)がすぐ求まります。
したがって OH=3が求める|ベクトルOPの最小値となります。
お分かり?|
参考URL:http://ameblo.jp/jukensuugaku/entry-11004024103. …
![「ベクトルの問題」の回答画像3](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/9/827568_5497ebb4bcf90/M.jpg)
No.2
- 回答日時:
(1)…点Aと線分BCとの距離の導出
(2)…点Oと線分BCとの距離の導出
という誘導ではないでしょうか.
(1)|ベクトルOP|が最小
↓
(2)線分BC上の点Pと点Oの距離が最小
↓
(3)|OP|⊥|BC|
↓
(4)線分BCと点Oの距離を求める
という気がします.
平面ですが,(2)→(3)→(4)を説明しているページがありますのでURLを載せておきます.
参考URL:http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/mini …
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