慣性モーメントがわかりません。

慣性モーメントの公式がl=Σmr^2(l:慣性モーメント、m:質量、r:距離）ということで、力のモーメントとは違うのでしょうか？以下の添付した問題が解けなくてこまっています。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/15 15:12

＞慣性モーメントの公式がl=Σmr^2(l:慣性モーメント、m:質量、r:距離）ということで、力のモーメントとは違うのでしょうか？

違います。

「力のモーメント：N」は、「回転運動」に関する「力」で、一般には「トルク」と呼ばれます。腕の長さ（回転運動の半径）を r 、力を F とすると
　　N = r × F　　①
です。

「慣性モーメント」は、回転運動が回り続けようとする一種の「勢い」です。直進運動の「勢い」である「運動量」が、質量を m、速度を v として
　　p = mv　　②
と表わされるのに対して、回転運動の「勢い」は、慣性モーメントを I 、角速度を ω として、角運動量
　　L = Iω　　③
で表わされます。直進運動の「質量」（慣性質量）に対応するのが、回転運動の「慣性モーメント」です。

「力のモーメント：N 」と「角運動量：L 」は、
　　N = dL/dt　　④
という関係があります。直進運動で
　　F = dp/dt = d(mv)/dt = m*dv/dt = ma
（a = dv/dt は加速度）
というニュートンの運動方程式に対応します。

④式に③を代入すれば
　　N = I*dω/dt　　　　　　　　　⑤
となって、（トルク）＝（慣性モーメント）×（角加速度）という回転運動の運動方程式が導かれます。

「質点」の場合には、回転運動の半径を r とすれば、v=rω なので
　　L = r × p = r × mv = mr^2ω　　⑥
となり、③との比較から
　　I = mr^2
となります。

(1)「棒」の場合には、棒の長さを L とすると、長さ x ～ x+dx の微小な部分（質点とみなせる）の質量が
　　dm = m*(dx/L)
なので、その微小部分の慣性モーメントは
　　dIm = x^2 * m*(dx/L)
を棒全体で積分して
　　Im = ∫[x:0→L](m/L)x^2dx = (1/3)mL^2
となります。

(2)　棒の質量が無視できるときには、角度θのときの質点に働く重力の回転運動の方向（棒に垂直）は
　　F = -Mg*sinθ
θが微小で sinθ≒θであれば、
　　F = -Mg*θ　　　⑦
です。
ここで、質点の中立位置からの変位 x は
　　x = L*θ
ですから、
　　θ=x/L
よって⑦式は
　　F = -Mg*x/L
質点の加速度を a とすると
　　F = Ma = M*d^2x/dt^2
ですから、運動方程式は
　　M*d^2x/dt^2 = -Mg*x/L
　→　d^2x/dt^2 = -g*x/L

これは「単振動」であり
　　x = A*sin(ωt)
と書けば
　　-Aω^2*sin(ωt) = -(g/L)*A*sin(ωt)
となって
　　ω^2 = g/L
より
　　ω = √(g/L)

周期 T は
　　ω = 2パイ/T
より
　　T = 2パイ/ω = 2パイ√(L/g)

また、質点の慣性モーメントは、上に書いたように
　　IM = ML^2


（注）上記は、⑤の回転運動の運動方程式からも求めることができます。
⑤式で
　　dω/dt = d^2θ/dt^2
なので、トルク
　　NM = -LMgθ
より
　　IMd^2θ/dt^2 = -LMgθ
　→　d^2θ/dt^2 = -(LMg/IM)θ
より
　　ω = √(LMg/IM)
　　T = 2パイ/ω = 2パイ√(IM/LMg)

これに質点の慣性モーメント IM = ML^2 を代入すれば
　　T = 2パイ/ω = 2パイ√(L/g)
で上と同じ結果が得られます。


(3) 棒と質点の「剛体」のモーメントを考えるには、
　　微小部分の力のモーメントの合計 = 全質量が重心位置にある場合の力のモーメント
という「重心位置」を求める必要があります。
　回転中心から重心位置までの長さを R とすると
　　∫[x:0→L}(x*m*dx/L) + ML = (M + m)R
より
　　R = L(2M + m)/[ 2(M + m) ]
となります。

この場合には、回転運動するのは質点ではないので、回転運動の運動方程式を使わないといけません。

「棒と質点」の剛体に働くトルクは、「重心に働く重力」なので
　　NM = (M + m)gR

従って、これによる単振動の運動方程式は
　　I*d^2θ/dt^2 = -(M + m)gRθ
より、その周期は
　　T2 = 2パイ√{ I/[ (M + m)gR ] }
　　　 = 2パイ√{ 2I/[ (2M + m)Lg ] }

ここに、(1)(2)から
　　I = Im + IM = mL^2/3 + ML^2
を代入して
　　T2 = 2パイ√[ 2(m + 3M)L/3(2M + m)g ]

かな？

この回答へのお礼

非常にわかりやすい質問でよく理解できました！
回答ありがとうございました！

お礼日時：2016/08/15 20:48

No.3 回答者： Steady_ 回答日時： 2016/08/15 18:47

No.1の解答ですが、Mとmを混ぜてしまうという重大なミスをしていました。

考え方は間違っていないと思いますが
答えは間違っているので、他の回答者さんを参考にしていただけると幸いです…。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
他の慣性モーメントの勉強もしてみようと思います！

お礼日時：2016/08/15 20:49

No.1 回答者： Steady_ 回答日時： 2016/08/15 13:43

高校物理までは物体がすべて質点の状態で運動していました。

質点なのですべての運動は並進のみになっています。
しかし、実際の物体は並進+回転の運動をします。

回転の運動方程式を立てるために慣性モーメントがあります。
（並進の運動方程式の質量と対になるのが慣性モーメントです。）

くわしい理論の説明は置いておいて、解答だけをしていきます。
「ボルダの振り子」という有名な問題の簡略版です。

(1)
棒の慣性モーメントは定義通りに計算すれば求められます。
（p = 線密度 = m / l )
I = ∫[0->l] p * r^2 dr= (1/3)*Ml^2　…（答）

(2)
平行軸の定理より
I_M = Ml^2

ここで回転の運動方程式を立てます。
（慣性モーメント * 角加速度 = 力のモーメント）
I * d^2θ/dt^2 = - l * Mg * sinθ
振れ幅が小さいのでsinθ=θで近似します。
I * d^2θ/dt^2 = - l * Mg * θ
d^2θ/dt^2 = - (l * Mg / I) * θ

厳密に求める場合はこの微分方程式を計算します。
今回は振り子の周期さえ求められればいいので
単振動の式 d^2θ/dt^2 = - ω^2 * θ と比較する。
ω^2 = (lMg / I)
T = 2π / ω = 2π√(I/lMg)

今の場合、I = I_M = Ml^2であるので
T = 2π√(l / g) 　…（答）

これは質点の単振り子の解と一致します。

(3)
(2)と異なるのは、棒が慣性モーメントを持つことです。
したがって
I = (1/3)*Ml^2 + Ml^2 = (4/3)*Ml^2

これを(2)で求めた周期の式に代入します。
T = 2π√(I/lMg) = 2π√(4l / 3g) …(答)


今までに考えたことがなかった回転の運動を考えるために
慣性モーメントが導入された、と考えてください。
（棒、球、円筒などの有名な慣性モーメントは暗記するといいです）

並進の運動方程式に対して
慣性モーメントは質量、角速度は速度、力は力のモーメントが対応している
と考えると、スムーズに学習が進むと思います。
頑張ってください。