
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>慣性モーメントの公式がl=Σmr^2(l:慣性モーメント、m:質量、r:距離)ということで、力のモーメントとは違うのでしょうか?
違います。
「力のモーメント:N」は、「回転運動」に関する「力」で、一般には「トルク」と呼ばれます。腕の長さ(回転運動の半径)を r 、力を F とすると
N = r × F ①
です。
「慣性モーメント」は、回転運動が回り続けようとする一種の「勢い」です。直進運動の「勢い」である「運動量」が、質量を m、速度を v として
p = mv ②
と表わされるのに対して、回転運動の「勢い」は、慣性モーメントを I 、角速度を ω として、角運動量
L = Iω ③
で表わされます。直進運動の「質量」(慣性質量)に対応するのが、回転運動の「慣性モーメント」です。
「力のモーメント:N 」と「角運動量:L 」は、
N = dL/dt ④
という関係があります。直進運動で
F = dp/dt = d(mv)/dt = m*dv/dt = ma
(a = dv/dt は加速度)
というニュートンの運動方程式に対応します。
④式に③を代入すれば
N = I*dω/dt ⑤
となって、(トルク)=(慣性モーメント)×(角加速度)という回転運動の運動方程式が導かれます。
「質点」の場合には、回転運動の半径を r とすれば、v=rω なので
L = r × p = r × mv = mr^2ω ⑥
となり、③との比較から
I = mr^2
となります。
(1)「棒」の場合には、棒の長さを L とすると、長さ x ~ x+dx の微小な部分(質点とみなせる)の質量が
dm = m*(dx/L)
なので、その微小部分の慣性モーメントは
dIm = x^2 * m*(dx/L)
を棒全体で積分して
Im = ∫[x:0→L](m/L)x^2dx = (1/3)mL^2
となります。
(2) 棒の質量が無視できるときには、角度θのときの質点に働く重力の回転運動の方向(棒に垂直)は
F = -Mg*sinθ
θが微小で sinθ≒θであれば、
F = -Mg*θ ⑦
です。
ここで、質点の中立位置からの変位 x は
x = L*θ
ですから、
θ=x/L
よって⑦式は
F = -Mg*x/L
質点の加速度を a とすると
F = Ma = M*d^2x/dt^2
ですから、運動方程式は
M*d^2x/dt^2 = -Mg*x/L
→ d^2x/dt^2 = -g*x/L
これは「単振動」であり
x = A*sin(ωt)
と書けば
-Aω^2*sin(ωt) = -(g/L)*A*sin(ωt)
となって
ω^2 = g/L
より
ω = √(g/L)
周期 T は
ω = 2パイ/T
より
T = 2パイ/ω = 2パイ√(L/g)
また、質点の慣性モーメントは、上に書いたように
IM = ML^2
(注)上記は、⑤の回転運動の運動方程式からも求めることができます。
⑤式で
dω/dt = d^2θ/dt^2
なので、トルク
NM = -LMgθ
より
IMd^2θ/dt^2 = -LMgθ
→ d^2θ/dt^2 = -(LMg/IM)θ
より
ω = √(LMg/IM)
T = 2パイ/ω = 2パイ√(IM/LMg)
これに質点の慣性モーメント IM = ML^2 を代入すれば
T = 2パイ/ω = 2パイ√(L/g)
で上と同じ結果が得られます。
(3) 棒と質点の「剛体」のモーメントを考えるには、
微小部分の力のモーメントの合計 = 全質量が重心位置にある場合の力のモーメント
という「重心位置」を求める必要があります。
回転中心から重心位置までの長さを R とすると
∫[x:0→L}(x*m*dx/L) + ML = (M + m)R
より
R = L(2M + m)/[ 2(M + m) ]
となります。
この場合には、回転運動するのは質点ではないので、回転運動の運動方程式を使わないといけません。
「棒と質点」の剛体に働くトルクは、「重心に働く重力」なので
NM = (M + m)gR
従って、これによる単振動の運動方程式は
I*d^2θ/dt^2 = -(M + m)gRθ
より、その周期は
T2 = 2パイ√{ I/[ (M + m)gR ] }
= 2パイ√{ 2I/[ (2M + m)Lg ] }
ここに、(1)(2)から
I = Im + IM = mL^2/3 + ML^2
を代入して
T2 = 2パイ√[ 2(m + 3M)L/3(2M + m)g ]
かな?
No.3
- 回答日時:
No.1の解答ですが、Mとmを混ぜてしまうという重大なミスをしていました。
考え方は間違っていないと思いますが
答えは間違っているので、他の回答者さんを参考にしていただけると幸いです…。
No.1
- 回答日時:
高校物理までは物体がすべて質点の状態で運動していました。
質点なのですべての運動は並進のみになっています。
しかし、実際の物体は並進+回転の運動をします。
回転の運動方程式を立てるために慣性モーメントがあります。
(並進の運動方程式の質量と対になるのが慣性モーメントです。)
くわしい理論の説明は置いておいて、解答だけをしていきます。
「ボルダの振り子」という有名な問題の簡略版です。
(1)
棒の慣性モーメントは定義通りに計算すれば求められます。
(p = 線密度 = m / l )
I = ∫[0->l] p * r^2 dr= (1/3)*Ml^2 …(答)
(2)
平行軸の定理より
I_M = Ml^2
ここで回転の運動方程式を立てます。
(慣性モーメント * 角加速度 = 力のモーメント)
I * d^2θ/dt^2 = - l * Mg * sinθ
振れ幅が小さいのでsinθ=θで近似します。
I * d^2θ/dt^2 = - l * Mg * θ
d^2θ/dt^2 = - (l * Mg / I) * θ
厳密に求める場合はこの微分方程式を計算します。
今回は振り子の周期さえ求められればいいので
単振動の式 d^2θ/dt^2 = - ω^2 * θ と比較する。
ω^2 = (lMg / I)
T = 2π / ω = 2π√(I/lMg)
今の場合、I = I_M = Ml^2であるので
T = 2π√(l / g) …(答)
これは質点の単振り子の解と一致します。
(3)
(2)と異なるのは、棒が慣性モーメントを持つことです。
したがって
I = (1/3)*Ml^2 + Ml^2 = (4/3)*Ml^2
これを(2)で求めた周期の式に代入します。
T = 2π√(I/lMg) = 2π√(4l / 3g) …(答)
今までに考えたことがなかった回転の運動を考えるために
慣性モーメントが導入された、と考えてください。
(棒、球、円筒などの有名な慣性モーメントは暗記するといいです)
並進の運動方程式に対して
慣性モーメントは質量、角速度は速度、力は力のモーメントが対応している
と考えると、スムーズに学習が進むと思います。
頑張ってください。
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