制御工学における最小位相系の重み関数

皆さんよろしくお願いいたします。
制御工学の最小位相系においては重み関数を以下の式で表わされることが知られています。
W(u)=ln(coth(|u|/2))
この定積分、積分範囲は-∞<u<∞とすると
∫W(u)du=π^2/2
が成立つと、ある教科書に掲載されています。
ネットで探すと以下のURLにも示されています。
http://www.fl.ctrl.titech.ac.jp/course/FC/07FC/h …
この定積分を解こうとしていますが、どうにも証明できません。
どなたか、この定積分の解き方を、ご存知の方いらっしゃいましたらご教示いただきたく、よろしくお願いいたします。
P.S.他の教科書では、このW(u)をW(u)=log(coth(|u|×ln(10)/2))と書かれているものが有ります。
なぜ上の式と異なるのか、どちらが正しいのか、または、異なる理由をご存知の方がいらっしゃれば、
ご教示いただきたくお願いいたします。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/08/26 07:36

ご質問にある「Bode 公式」は周波数が直線じゃありませんね。

まずリニア・スケールの場合を、下記 pbf の "2.1. The Cauchy integral" にて予習。
　　http://w3.msi.vxu.se/exarb/mj_ex.pdf

あとは、変数変換でトライしてみてください。
　

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
＞まずリニア・スケールの場合を、下記 pbf の "2.1. The Cauchy integral" にて予習。
とありますが、コーシーの積分表示と、どういう関係があるか全く分かりません。
恐れ入りますが、小生にも分かるようご教示いただければ幸いです。
変数変換について、試してみましたが、
∫{u=-∞→∞} log( coth(|u|×Ln(10)/2) ) du
について、常用対数をlog、自然対数をLnと表わすと対数の公式から
∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|u|×Ln(10)/2) ) / Ln(10) du
となります。ここで|u|×Ln(10) = t とおくと
u:-∞→∞でt:-∞→∞
dt = |u|×Ln(10) du よりdu = dt / Ln(10) となり
∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|t|/2) ) / ( Ln(10) )^2 du
となり、うまく変数変換できません。
ご教示いただければ幸いです。

お礼日時：2008/08/27 22:58

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/08/28 07:33

かなり唐突すぎましたね。

失礼。話の筋だけでも、補足してみます。

「ボードのゲイン - 位相関係式」は、数学界で "ヒルベルト(Hilbert)変換"と呼ばれるものです。
"The Hilbert Transform" の pbf には、ふつう(リニア - スケール)の場合が書かれてます。
ご質問のほうの pbf は対数 - スケールですね。

いきなり対数 - スケールでは難儀だろうから、まずリニア - スケールの場合 <式 (2.2), (2,3) あたり ?> を参照してから、
それにスケール変換してみるのがわかり易いのでは、…というつもりでした。
うまくつなげるかどうか、吟味してみてください。

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[蛇足]
ご質問の pbf にある dM/du = n のケースは、リニア - スケールに戻すと f(z) = jω^n になると思います。
　

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
リニアスケールにすれば確かに積分は楽になると思います。
しかしながら、小生の質問にある関数を簡略化したLn(coth(x))の積分は解法の目処が立ちました。
なので、小生には困難な対数表示をリニアスケールにするアプローチについては、
せっかくご回答頂いたのですが、英文のドキュメントを読むことは、英語が不得意の小生には、更に難しいです。
英文が分かったとしても、数学的な方でも、つまづくのではと心配です。
リニアスケールにすれば楽でしょうから、よろしかったらその手順をご教示いただければ幸いです。
そうでなければ、リニアスケールにする問題はさておき、∫W(u)du=π^2/2　を証明する上で、
W(u)=log(coth(|u|×ln(10)/2))　を
W(u)=ln(coth(|u|/2))　へ変換する方法をご教示いただければ幸いです。
また、どうして2種類の重み関数が存在するのか、ご教示いただければ幸いです。

お礼日時：2008/08/28 11:41

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/08/28 14:46

>リニアスケールにすれば楽でしょうから、よろしかったらその手順を.......

これをご覧になって、失笑なさらぬようにご用心のほどを..... 。

最小位相推移の伝達量を
　　Log{F(s)} = Log|F(s)| +j*arg{F(s)}
と表記した場合、Bode 流の Hilbert 変換式は(s = jω : ωはリニア - スケール)、
　　arg{F(jω)} = (2ω/π)*∫{Log|F(ju)| / (u^2-ω^2)}du

ご質問は、F(s) = s^n に相当するようです。
この場合に限れば、わざわざ積分変換せずとも arg{F(jω)} = n*(π/2) だとわかりますよね。
私見ですけど、Bode さんはこの単純な事実を利用したらしく、うるさい識者が Hilbert 変換により正当性を検証したように思われます。
　

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
＞これをご覧になって、失笑なさらぬようにご用心のほどを..... 。
すいません。失笑どころか、話の流れが理解できていません。以下に
質問内容を箇条書きにさせて頂きましたので、各番号毎にご回答いただければ幸いです。

(1)最小位相推移の伝達量を　Log{F(s)} = Log|F(s)| +j*arg{F(s)}
　とした理由が分かりません。ここでいうLogはLnのことでしょうか。
　F(s) = |F(s)|exp(j*arg{F(s)}) について両辺自然対数をとったということでしょうか。

(2) Hilbert 変換自体、どういったものなのか良く分かりません。
　ネットで調べたらf(x)のヒルベルト変換は、以下の式で載ってました。
　(-1/π) ∫{-∞→∞} ( f(λ)/(x-λ) )dλ
　この式から
　arg{F(jω)} = (2ω/π)*∫{Log|F(ju)| / (u^2-ω^2)}du
　が導き出された過程が分かりません。恐縮ですが、導出過程をご教示いただければ幸いです。
　
(3)　＞ご質問は、F(s) = s^n に相当するようです。
　　なぜでしょう？小生の理解不足で大変申し訳ありませんが、解説いただければ幸いです。

(4)　＞この場合に限れば、わざわざ積分変換せずとも arg{F(jω)} = n*(π/2) だとわかりますよね。
　すいません。分かりません。arg{F(jω)} = n*(π/2)　と　∫W(u)du=π^2/2
　がどう結びつくのか分かりません。小生の理解不足で大変申し訳ありませんが、ご教示いただきたくお願いいたします。
　

お礼日時：2008/08/28 21:47

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/08/28 21:03

蛇足ですが。

>W(u)=log(coth(|u|×ln(10)/2)) を W(u)=ln(coth(|u|/2))　へ変換する方法.....

こちらは、単なる (対数の)「底の変換 (10 - e)」みたいですけど。
　

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
単なる対数の底の変換でしょうか。
＃１のお礼で示しましたが、。。。。
常用対数をlog、自然対数をLnと表わすと対数の公式（底の変換）から
∫{u=-∞→∞} log( coth(|u|×Ln(10)/2) ) du
　=∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|u|×Ln(10)/2) ) / Ln(10) du
となります。ここで|u|×Ln(10) = t とおくと
u:-∞→∞でt:-∞→∞
dt = |u|×Ln(10) du よりdu = dt / Ln(10) となり
∫{u=-∞→∞} Ln( coth(|t|/2) ) / ( Ln(10) )^2 du
となり、底の変換だけでは、うまくいきません。
お考えの底の変換とは、どのようなものでしょうか、ご教示いただければ幸いです。

お礼日時：2008/08/28 22:02

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/08/28 23:04

>(1)最小位相推移の伝達量を　Log{F(s)} = Log|F(s)| +j*arg{F(s)}

>　とした理由....
>　F(s) = |F(s)|exp(j*arg{F(s)}) について両辺自然対数をとったということでしょうか。

そのとおりです。

>(2) ....　(-1/π) ∫{-∞→∞} ( f(λ)/(x-λ) )dλ　この式から
>arg{F(jω)} = (2ω/π)*∫{Log|F(ju)| / (u^2-ω^2)}du　が導き出された過程....

|F(ju)|は u の偶関数、だからです。
　http://www.power.mech.waseda.ac.jp/amano/AL/Clas …

>(3)　>>ご質問は、F(s) = s^n に相当するようです。
>　なぜでしょう？
>(4)　>>この場合に限れば、わざわざ積分変換せずとも arg{F(jω)} = n*(π/2) だとわかりますよね。
>　arg{F(jω)} = n*(π/2)　と　∫W(u)du=π^2/2　がどう結びつくのか分かりません。

それが (dM/du) = n になる関数です。(物理的には実現不能)
arg{(jω)^n} = n*(π/2) という勘定をしただけ。わざわざ積分変換してません。
　

この回答への補足

お礼欄だけでは、収まらなかったので、補足欄に質問を追記させていただきました。
(3)、(4)について
>それが (dM/du) = n になる関数です。(物理的には実現不能)
>arg{(jω)^n} = n*(π/2) という勘定をしただけ。わざわざ積分変換してません。
小生の質問の仕方が、悪いのかもしれませんので、新たに番号を付けて箇条書きにして、以下のとおりに質問させていただきます。

(5)
>ご質問は、F(s) = s^n に相当するようです。
とのご回答は、どの質問に対し、何についてご回答頂いているのでしょうか。また、どういった式の導出のもと「F(s) = s^n に相当する」とおっしゃっているのでしょうか。

(6)
>それが (dM/du) = n になる関数です。
この式は、どの質問について、何を、お答え頂いたのでしょう。ここで、Mという新たな変数が出、解説が無いためわかりません。
この式が、どのように導出されたものかご教示ください。

(7)
＞この場合に限れば、わざわざ積分変換せずとも arg{F(jω)} = n*(π/2) だとわかりますよね。
arg{F(jω)} = n*(π/2) の式の導出過程が分からないので、理解できません。
また、小生が立てた質問とどういう関係があるのか、式の導出過程とともに、ご教示ください。

(8)
＞arg{(jω)^n} = n*(π/2) という勘定をしただけ。わざわざ積分変換してません。
積分変換されていないことは、理解しました。
しかし、この式は小生が質問させていただいている
「∫W(u)du=π^2/2　の証明」とどう結びつくのか分かりません。
この式によって、何を小生に伝えたいのか、ご教示いただきたくよろしくお願いいたします。

補足日時：2008/08/29 23:26

この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
小生の理解不足で申し訳ありませんが、未だ頭の中は？マークでいっぱいです。

(2)について
Hilbert変換をネットで調べました。
http://gentei.ee.sophia.ac.jp/content/content1/c …
http://server.mech.kumamoto-u.ac.jp/~kuchi/memo7 …
上記サイトでは、「伝達関数の実数部と虚数部は独立でなく、ヒルベルト変換で相互に決定できる。」とのことでした。
しかしながら、その証明が分からないので、証明方法をご教示いただければ幸いです。
また、上記サイトとご紹介頂いたpdfファイルのヒルベルト変換の式が、異なっておりますが、なぜなのか、ご教示ください。
特に(2ω/π)*∫{Log|F(ju)| / (u^2-ω^2)}duが導き出された過程について、ご教示いただきたくお願いいたします。
>|F(ju)|は u の偶関数、だからです。
とのご回答だけでは、全く分かりませんでした。
また、pdfファイルの内容も理解できませんでした。改めて、
・ヒベルト変換の定義
・証明（伝達関数の実部と虚部を変換によって決定できる）
・この変換の意味するところ
をご教示いただきたくお願いいたします。

お礼日時：2008/08/29 23:24

No.6 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/08/30 14:44

ヒントのたび、おおむ返しに問いが返ってくるので、すごく不安です。

自分なりにトライしてますか？

>「伝達関数の実数部と虚数部は独立でなく、ヒルベルト変換で相互に決定できる。」とのことでした。しかしながら、その証明が分からない ....
無限遠点の制約つきですが、このテキストの問題(b) あたり。
　http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/katsu_s/class/me/b/ …
WEB 上ではこのあたりが限度です。
性に合うテキストの購入を強くお勧めします。

>>|F(ju)|は u の偶関数、だからです。
>とのご回答だけでは、全く分かりませんでした。
係数を無視して、話を簡単化します。
G(ju) が u の偶関数の場合なら、
+∞
∫{G(ju)/(u-ω)}du
-∞
　0　　　　　　　　　　　　+∞
=∫{G(ju)/(u-ω)}du + ∫{G(ju)/(u-ω)}du
　-∞　　　　　　　　　　　0
と和分解して、第一項の u の符号を反転させれば、0 から +∞までの定積分になる、というのがヒントです。

>>ご質問は、F(s) = s^n に相当するようです。
>>それが (dM/du) = n になる関数です。(物理的には実現不能)
>>arg{(jω)^n} = n*(π/2) という勘定をしただけ。わざわざ積分変換してません。
>.... どの質問に対し、何についてご回答頂いているのでしょうか。また、どういった式の導出のもと「F(s) = s^n に相当する」とおっしゃっているのでしょうか。
ご質問中の参照ページにある、
　　M = ln|G(jω)|　　対数ゲイン
がターゲット、(dM/du) = 一定(= n) の場合を考えればよい、と思ってました。
M は、G(ju) = (ju)^n　の(自然)対数の実部ですから、わざわざ積分変換せずとも虚部を求められる、というわけです。
　　ln|G(ju)| = ln|(jω)^n| = n*|u| = M　　((dM/du) = 一定(= n), u>0 。厳密に言うと M は偶関数ゆえ、n が奇数の場合、(dM/du) = 一定は自己矛盾ですけど)
　　arg(ju) = (π/2) ですから、arg{(jω)^n(jω)^n} = n*(π/2) 。
積分変換はしてませんから、∫W(u)du=π^2/2 との結びつきは間接的なものですが....。