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どなたかこの問題の疑問点についてご教授ください。

(問題)
長さ2aの質量が無視できる棒の両端に質量mの質点が取り付けられてた剛体と、壁との衝突を考える。剛体は常にxy平面内で運動しているとし、質量中心の初期速度を(Vx,Vy), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω(>0)とする。ただし、重力および、壁と剛体との間の摩擦は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。
(問)
質点と壁は弾性衝突するとし、その時に壁が剛体に及ぼす力積をΔfとする。また壁はなめらかであり、力積はy成分のみを持つとする。衝突直後の剛体の質量中心の速度を,角速度を(V'x,V'y), この点周りの反時計回りの回転運動の初期角速度をω'として,衝突前後の剛体の角運動量変化の式、運動量変化の式を示せ。
また弾性衝突した質点の衝突直前後のy方向速度Uy,U'yが関係式U'y=-Uyをみたすことと先ほど求めた式を用いて、衝突直後のV'x、V'y、ω'をa、θ、Vx、Vy、ωを用いて表せ。

(疑問点)
運動量、角運動量の式をそれぞれ
2m√(Vx^2+Vy^2) + Δf = 2m√(V'x^2+V'y^2)
2ma^2ω+Δfa*cosθ=2ma^2ω'
というように立てて、質点のy方向の運動量変化の式
2mUy + Δf = 2mU'y
の式からΔfを4mUyと算出して角運動量変化の式に代入して
ω' = ωcos^2θ+2Vy/a*cosθ+ω
と算出してこれを
V'y = U'y - v'y = Vy + aωcosθ - aω'cosθ (v'yは衝突後の質量中心周りの回転速度)
に代入したのですが、得られたのは
V'y= Vy - (aωcos^3θ+2Vcos^2θ)
とy方向の変位が振動する解となってしまいました。

この手順の訂正箇所をどなたか教えてください。
あと,V'xはx方向の力積を受けていないからVx=V'xでいいのでしょうか。

「回転する剛体の壁との衝突後の運動」の質問画像

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A 回答 (7件)

No.6と同じ者です。

下記の部分は符号が逆です。失礼しました。

【誤】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'-a*ω'*cosθ

【正】
>また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は -a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
> Uy=Vy-(-a*ω*cosθ)=Vy+a*ω*cosθ

>式{5}と同様に、
> Uy'=Vy'+a*ω'*cosθ

衝突するとω'がωと逆になるのは明解ですが、左回りを正にしているため、Uy'の式もこの形で表わせます。

結果は、
Vy'=-(sinθ)^2/(1+(cosθ)^2)*Vy-(2*cosθ)/(1+(cosθ)^2)*a*ω //
ω'=(sinθ)^2/(1+(cosθ)^2)*ω-(2*cosθ)/(1+(cosθ)^2)*Vy/a //

となります。
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この回答へのお礼

訂正箇所確認しました。
了解です,わざわざありがとうございます!

お礼日時:2011/08/08 17:10

ははあ、貴殿とのやり取りでようやく理解しました。

私は剛体中心が支持されているという先入観に陥ってました。この問題は、剛体中心も自由ですね。No.3の回答は撤回します。剛体中心が自由という下で、解答いたします。
まず剛体の質量中心に対する慣性モーメントIgは、平行軸の定理から
Ig=2*m*a^2 →{1}

次に質量中心回りの角運動量と力積のモーメントの関係は、
Ig*ω'-Ig*ω=a*⊿f*cosθ →{2}

次に剛体全体の運動量と力積の関係において、x軸方向は、
2*m*Vx'-2*m*Vx=0 →{3}

y軸方向は、
2*m*Vy'-2*m*Vy=⊿f →{4}

また質量中心から見た衝突に関わる質点の速度のy成分は a*ω*cosθ ですが、質量中心も自由ですので、絶対座標系での衝突に関わる質点の速度のy成分は、
Uy=Vy-a*ω*cosθ

式{5}と同様に、
Uy'=Vy'-a*ω'*cosθ

Uy'=-Uyですので、
Vy'-a*ω'*cosθ=-Vy+a*ω*cosθ →{5}

Vx'は式{3}から直ちに求まり、Vx'=Vx //

次に式{2}と式{4}から⊿fを消去すると、
2*m*a^2*ω'-2*m*a^2*ω=a*(2*m*Vy'-2*m*Vy)*cosθ
⇔ a*ω'-a*ω=Vy'*cosθ-Vy*cosθ ⇔ a*ω'=Vy'*cosθ-Vy*cosθ+a*ω →{6}

これを式{5}に代入して、
Vy'-(Vy'*cosθ-Vy*cosθ+a*ω)*cosθ=-Vy+a*ω*cosθ
⇔ (sinθ)^2*Vy'=-(1+(cosθ)^2)*Vy+2*a*ω*cosθ
よって、Vy'=-((1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2)*Vy+(2*cosθ/(sinθ)^2)*a*ω //

さらにこれを式{6}に代入して、
a*ω'=(-(1+(cosθ)^2)/((sinθ)^2)*Vy+2*cosθ/((sinθ)^2)*a*ω)*cosθ-Vy*cosθ+a*ω
⇔ a*ω'=-cosθ*(2*(cosθ)^2/(sinθ)^2*Vy+(1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2*a*ω
よって、ω'=-(2*cosθ/(tanθ)^2)*Vy/a+((1+(cosθ)^2)/(sinθ)^2)*ω //

いかがでしょう?
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この回答へのお礼

ご回答頂いてありがとうございます。
導出過程を記述して下さったおかげで,とてもわかりやすかったです。
どうもありがとうございました!

お礼日時:2011/08/08 17:09

#1のものです。



・⊿f2の作用点と向き

・⊿f2は間接的に算出する物理量だと思うのですが,それを算出するためには
mUy+⊿f+⊿f2=mU'y
の式以外に⊿f2をどの式に加えればいいのでしょうか?
⊿f2のまま右の質点の運動量式に加えると右と左でUyの値が異なってくると思うのですが?

この⊿f2ですが、実際は⊿f2yと書くべきもので、剛体棒からかかる力はy方向だけではありません。
剛体棒にはこの力の反作用がかかりますが、剛体棒自体に質量がないことから別の力が働き釣り合いが取れていないと剛体棒の加速度が発散してしまいます。
剛体棒に力を及ぼすものはこれ以外にはもう一つの質点から受ける力しかありません。この力は⊿f2になります。(左側の質点から受ける力が-⊿f2であるため)
さらにこの剛体棒にかかるトルクは"0"でないといけません。トルクが"0"でないとすると角速度の時間微分が発散してしまいます。(剛体棒の質量が"0"であり、完成モーメントも"0"になるため)
そうすると、⊿f2の向きは必然的に剛体棒の軸方向になってしまいます。
そのために次の関係式が成り立ちます。
⊿f2y=⊿f2x*tanθ
左側の質点の速度をUx,Uy,U'x,U'yとすると壁にぶつかった前後での運動量保存から次の関係が得られます。
mUx+⊿f2x=mU'x
mUy+⊿f+⊿f2y=mU'y

もう一つの質点の速度はVx-Ux,Vy-Uy,V'x-U'x,V'y-U'yになりますので、この質点に関しても運動量保存から
m(Vx-Ux)-⊿f2x=m(V'x-U'x)
m(Vy-Uy)-⊿f2y=m(V'y-U'y)
の関係式が得られます。

この式から角速度との関係式を求めればよいでしょう。
全体としての速度のx成分Vxが変化することはありませんが、Uxが変化しないかについては実際に計算して確認してください。
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この回答へのお礼

懇切丁寧なご回答ありがとうございます。
御蔭様でようやく理解することができました。
計算のほうも実際にやってみて確認しました、とても納得しました。
どうもありがとうございました!

お礼日時:2011/08/08 17:05

お礼をいただいた回答でなくて申し訳ありません。

確認です。

1.問題に「剛体の質量中心の速度を,角速度を(V'x,V'y)」という表現がありますが、速度ですか? 角速度ですか?

2・上記が速度である場合、問題に「関係式U'y=-Uyをみたす」という表現がありますが、V'y=-Vy の間違いとうことはないですか?

恐縮ですが、今一度ご確認いただきたくお願いいたします。

この回答への補足

>1.問題に「剛体の質量中心の速度を,角速度を(V'x,V'y)」という表現がありますが、速度ですか? 角速度ですか?

失礼しました,タイプミスです。正確には「「剛体の質量中心の速度を(V'x,V'y),角速度をω'」です。

>2・上記が速度である場合、問題に「関係式U'y=-Uyをみたす」という表現がありますが、V'y=-Vy の間違いとうことはないですか?

これに関しては問題文どおりです。質量中心の速度Vのy方向成分でなく,質点の速度Uのy方向成分と記述されています。

補足日時:2011/08/07 11:09
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この回答へのお礼

こちらの手違いでお手数おかけしました,すみませんでした。

お礼日時:2011/08/08 17:13

野球でのバッティングを想像してみて下さい。

向かって来た球に対し、「打つ直前にバットから手を離して球を打ち返した」時と、「バットを握ったまま球を打ち返した」時とで、どちらの打球の方が飛ぶでしょうか? まあ、バットのどの部分に当たるかとか、スイングの速さ等の細々したことを考えなくてはならないですが、一先ずそれぞれのケースでバットスイングの速さもバットに当たった位置も同じとしましょう。
後者の方が飛びますよね。
それは、スイングによって生成された力がバットを支持していることで、確実に(100%とは言えませんが)伝わるからです。前者は支持されていないため、バットもどこかに飛んで行ってしまうでしょう。よって、その飛んで行ってしまった分の運動量だけ打球の運動量も後者と比較して減ってしまい、打球は飛びません。
すなわち支持の存在により、+αの力積が⊿fと同じ方向に加わります。ただしこの値は、質点系の力学でよく出てきた張力や垂直抗力等のように間接的に分かる物理量です。ですから、+αも未知数として並進(x, y)の運動量と力積の関係式へ取り入れるとともに、回転の角運動量と力積モーメントの関係式(こちらには取り入れられませんよね。+αは回転中心からの距離が0ですから)から連立方程式を解くことになります。
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この回答へのお礼

SKJAXNさん
ご回答ありがとうございます。
支持による力積+αですが,壁をバットに見立てた時に剛体にかかる力積ということですね。

それは質点ではなく質量中心に掛かるものということですか?
それとx方向の運動量式にもその項を加えるということですが、⊿f方向と同じ向きということはゼロですよね?となると連立方程式を立ててもαが求まらないような気がするのですが,ほかに+αする式があるのでしょうか?

お礼日時:2011/08/06 15:51

>2mUy + Δf = 2mU'y


>の式が剛体棒から受ける力がなければ成り立たないということですが,幾分素人でそこがあまりピンと来ないので,恐縮ですがその部分についてもご教授頂けないでしょうか。

左側の質点が壁にぶつかる瞬間、二つの質点をつなげる剛体棒からそれぞれの質点が力を受けます。でないと左右の物体があさっての方向にばらばらに飛んでいってしまいますから。

上の式には左側の質点にかかるもう一つの力積⊿f2(剛体棒から受ける力積)を加えて
mUy+⊿f+⊿f2=mU'y
としないといけません。
なお、この式は左側の質点のみについて考えているため、質量はmにしないといけません。
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この回答へのお礼

rnakamraさん
ご回答ありがとうございます。

質点がバラバラにならず剛体としての形を保つための力ということですね。
何度も教えを乞うておきながら恐縮なのですが、解法の指針がまだ浮かばないので,以下の点について教えて頂けませんか。

・⊿f2の作用点と向き

・⊿f2は間接的に算出する物理量だと思うのですが,それを算出するためには
mUy+⊿f+⊿f2=mU'y
の式以外に⊿f2をどの式に加えればいいのでしょうか?
⊿f2のまま右の質点の運動量式に加えると右と左でUyの値が異なってくると思うのですが?

・⊿f2を加えたUyの関係式から⊿fを算出してそれを角運動量の式に代入してω'を求めてから
V'y = U'y - v'y = Vy + aωcosθ - aω'cosθ
に更にだいにゅうしてV'x、V'yを求めるという手順でいいのでしょうか?

お礼日時:2011/08/06 15:44

運動量はベクトルであり、運動量の式はあくまでベクトルとしての式で書かないといけません。

絶対値で考えてはいけません。

運動量についての式は
2mVx=2mV'x
2mVy+⊿f=2mV'y
でないといけません。
角運動量についての式は提示されたものでよいと思います。

あと
>2mUy + Δf = 2mU'y
この式は成り立ちません。左側の質点は剛体棒からも力を受けているはずなのでその力を入れておかないといけません。
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この回答へのお礼

rnakamruさん
ご回答いただきありがとうございます。
なるほど、確かに方程式はベクトル毎に立てるべきでした。

2mUy + Δf = 2mU'y
の式が剛体棒から受ける力がなければ成り立たないということですが,幾分素人でそこがあまりピンと来ないので,恐縮ですがその部分についてもご教授頂けないでしょうか。

お礼日時:2011/08/05 00:42

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Q角運動量保存則が分かりません

質量m長さlの均質な剛体棒が、端Aを中心として回転できるように、端Aで支持
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衝突直後球と棒は一体となり角速度wで運動を始め、鉛直方向からθの位置まで振れた。
衝突前の球の速度vはいくらか。

Iθ"=lF-mglsinθ/2
ml^2θ"=-lF-lmgsinθ

から両辺を足し、
Iθ"+ml^2θ"=-lmgsinθ-mglsinθ/2
両辺にθ’をかけて
(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
という式がでませんか??

そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
となりませんか??
でもそのあとvとはどのように求めるのでしょうか??
角運動量保存則を使うのでしょうけれども、
使い方とそこで使える理由が分からないのです。

Aベストアンサー

>(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
>という式がでませんか??

でます。
>そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
>となりませんか??
wに'がついているのが誤植であるのなら、確かにそうなります。θ=60°とすれば(そんな条件があるのか知りませんがw)、模範解答の

>(I+ml^2)w'^2/2=mgl(1-cos60)+ mgl/2(1-cos60)・・・・3
の式になります。


さて、問題は、
>衝突前の球の速度vはいくらか。
です。従って、衝突直前と直後の関係を考えなければなりません。

運動方程式を立てるのは困難(衝突時に働く力が分からないから)なので、何らかの保存量を考えた方がいいでしょう。

まず、衝突時に働いている力を書き出してみると、
(重力の向きをx軸、衝突前の小球の運動方向をy軸、それに垂直な向きにz軸をとります)

小球:重力(y軸方向)、衝突時に剛体棒から受ける力(x軸方向)
剛体棒:重力(y軸方向)、衝突時に小球から受ける力(x軸方向)、端点Aでの拘束力(剛体棒に平行な方向)

のようになります。

さて、保存量として代表的なのは、エネルギー、運動量、角運動量ですので、これらが保存されるかどうかを考えます。

エネルギーが保存されるのは、保存力を受ける場合(非保存力を受けない場合)ですが、衝突時に受ける力が保存力ではないので、衝突の前後でエネルギーは保存しません。
(ちなみに、衝突後に働く力は、重力と拘束力です。重力は保存力で、拘束力は仕事をしないのでエネルギーが保存されます)

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ここでいう外力とは、重力と剛体棒の拘束力で、x軸方向もy軸方向もゼロではありませんので、x,y軸方向の運動量は保存しません。
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結局、A周りの角運動量が保存される事になります。z軸方向の角運動量の保存から
>mVl=(I+ml^2)w・・・・2
が得られます。(x軸,y軸方向の角運動量はゼロなので考えません)

>(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
>という式がでませんか??

でます。
>そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
>となりませんか??
wに'がついているのが誤植であるのなら、確かにそうなります。θ=60°とすれば(そんな条件があるのか知りませんがw)、模範解答の

>(I+ml^2)w'^2/2=mgl(1-cos60)+ mgl/2(1-cos60)・・・・3
の式になります。


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>衝突前の球の速度vはいくらか。
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T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

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すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

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tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
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この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

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と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

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で一見関係が無いように見えますが・・・
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Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

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kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
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  静止している剛体球Aに、同じく剛体である球Bを斜めに衝突させると、

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 教えて下さい。

 
 

Aベストアンサー

>? Zincerさんの
>VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
>(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
>の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?)
失礼しました。私の計算は速度V0を持つ球Aを、静止している球Bに衝突させた場合ですね。
tokomaiwasaさんの設定と逆の為、tococheさんの誤解を招いたものと思いますが、考え方は一緒です。
上の式をtokomaiwasaさんの設定の場合に修正しますと、(添え字のAとBをいれかえるだけですが)
VA1x-VB1x=VB0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
(V0cosθ=)VB0x=VB1x+VA1x ・・・(2)’
となり、
VB1x=0
VA1x=VB0x=V0cosθ
ついでにy軸方向は(衝突前後で変化無し)
VB1y=V0sinθ
VA1y=0
と、なりますね。

修正ついでに補足しておきますが、tococheさんの
>同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。
という、表現には誤解がはいっていませんか?たしかに(総)エネルギーは保存されるでしょうが、私の言った「運動エネルギー」は保存されません。
極例として、θ=0°(正面衝突?)、μ=0(衝突と同時に接合し球ABが一緒に動く場合:brogieさんの言葉を借りれば「完全非弾性衝突」)を考えて見ましょう。(ちなみにμ=1の場合を「完全弾性衝突」と呼びます。これ以外を「非弾性衝突」と呼びます。)
【衝突前】
M・V0^2/2
【衝突後】
計算は省きますが、質量が2Mになるので、
VA=VB=1/2V0 ですから
[2M・(1/2V0)^2]/2=M・V0^2/4
と、運動エネルギーは衝突前の半分になります。

>? Zincerさんの
>VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
>(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
>の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?)
失礼しました。私の計算は速度V0を持つ球Aを、静止している球Bに衝突させた場合ですね。
tokomaiwasaさんの設定と逆の為、tococheさんの誤解を招いたものと思いますが、考え方は一緒です。
上の式をtokomaiwasaさんの設定の場合に修正しますと、(添え字のAとBをいれかえるだけですが)
VA1x-VB1x=VB0x(=V0c...続きを読む

Qころがり摩擦と静止摩擦係数の関係

円形のもの(タイヤ、球)を斜面でころがしたり、
軸につなげて駆動させたりすると、
物体には、静止摩擦より低い転がり摩擦が
働くのですが、物体をころがすだけで
静止摩擦より低い抵抗で済む理由が分かりません。
回転体を転がすと接触面に回転体の重さがかかるため、
接触面に対しても静止(動)摩擦がかかり、回転するにつれ、
次々と移り変わっていくはずなのに静止摩擦(動でも)より
低くなる仕組みを知りたいと思っています。

Aベストアンサー

「静止摩擦力」「動止摩擦力」「転がり摩擦力」についてざっとお浚いしましょう。

摩擦力は、2つの物体が接触していて、互いに向きの違う方向に力が働いたときに摩擦力が発生します。 接触面の破壊とか変形により生じると考えられています。

静止摩擦力:2つの物体の接触面が移動していない状態で、値は、0から動きだす直前の最大静止摩擦力までです。

動摩擦力:2つの物体の接触面が移動している状態で、一定条件下では一定の値を示し、通常は、最大静止摩擦力より小さい値です。

転がり摩擦力:2つの物体の接触面が転がりながら移動している状態でその瞬間の接触面には滑りは発生していなくて、静止摩擦力が働く。 接触面の横方向の力が働くのではなく、縦方向の接触面の破壊とか変形、回転体を回転させるに必要な力などにより生じ、その性質上通常は、最大静止摩擦力の数10分の1程度と云われています。

>接触面に対しても静止(動)摩擦がかかり、回転するにつれ、次々と移り変わっていくはずなのに静止摩擦(動でも)より低くなる

最後の「静止摩擦(動でも)より低くなる」というくだりが、間違っています。

「静止摩擦」力は上記のように、「0~最大静止摩擦力」までの値 (その時の条件による)を取ります。
静止面の接触面の静止摩擦力と回転体の接触面の静止摩擦力とは同じもの (当然等しい) なので比較することは無意味です。 

一般に思われているのは、同じ物体同士の「最大静止摩擦力と転がり摩擦力との比較」であってこの場合は、転がり摩擦力の方がはるかに小さい値となります。 

「静止摩擦力」「動止摩擦力」「転がり摩擦力」についてざっとお浚いしましょう。

摩擦力は、2つの物体が接触していて、互いに向きの違う方向に力が働いたときに摩擦力が発生します。 接触面の破壊とか変形により生じると考えられています。

静止摩擦力:2つの物体の接触面が移動していない状態で、値は、0から動きだす直前の最大静止摩擦力までです。

動摩擦力:2つの物体の接触面が移動している状態で、一定条件下では一定の値を示し、通常は、最大静止摩擦力より小さい値です。

転がり摩擦力...続きを読む

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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