接触する二球の接点の高さ

地面に接地した半径r1,r2の二つの球を接触させたときの接点の高さを求めたいです。
球だから円に落とし込んでどうにかできないかなど考えたのですが思いつかなかったので詳しい方計算の仕方を教えていただけると助かります。

No.6 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/23 15:02

no5訂正です

画像は２球の接点での断面図です。
Dは接点で、それぞれの中心と結ぶと、
半径と接線だから、ODと接線青は９０度、同じくCDと接線青は９０度
従ってOD、DCは一直線上にあると言える。　←★ここ訂正しました。

AC=IC-IA=IC-HO=r2-r1
また△OAC∽△DBC　だから
OC:DC=AC:BC
⇒(r1+r2):r2=(r2-r1):BC
⇔(r1+r2)BC=r2(r2-r1)
⇔BC=r2(r2-r1)/(r1+r2)

従って
IB=IC-BC
=r2-r2(r2-r1)/(r1+r2)
=2r1r2/(r1+r2) ★←ここも訂正しました。

No.7 回答者： Tamageta 回答日時： 2018/04/24 09:17

参考になれば。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/23 14:50

画像は２球の接点での断面図です。

Dは接点で、それぞれの中心と結ぶと、
半径と接線だから、ODと接線青は９０度、同じくCDと接線青は９０度
従ってOD、OCは一直線上にあると言える。

AC=IC-IA=IC-HO=r2-r1
また△OAC∽△DBC　だから
OC:DC=AC:BC
⇒(r1+r2):r2=(r2-r1):BC
⇔(r1+r2)BC=r2(r2-r1)
⇔BC=r2(r2-r1)/(r1+r2)

従って
IB=IC-BC
=r2-r2(r2-r1)/(r1+r2)
=(r1+r2-r2)(r2-r1)/(r1+r2)
=r1(r2-r1)/(r1+r2)

勘違いしてなければこのようになるのでは＾＾

No.4 回答者： diff3356 回答日時： 2018/04/23 14:49

半径r, Rの２球O[1]，O[2]が問題のようになっているとします(0<r<R)。

接点をQ, Qから地面までの高さ(求めるもの)をｈとします。
このとき、三角形の相似から、
r : (r+R) = (h-r) : (R-r)
がなりたちこれから、
h=2rR/(r+R).
を得ます。

No.3 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/04/23 14:47

写真は以下の通りです

No.2 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/04/23 14:45

勉強お疲れ様です。

求めたいのは写真のxですね。点線より上の部分で相似比を使うのが確実かと存じます。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/23 13:54

求めるのが、地面からの高さだけならば、

「球」で無くても「円」で良いのではないですか。

グラフで、一つの円の中心を原点とし、ｘ軸上で接する２円を書けば、
その接点は ｘ軸上の中心間の距離を r₁:r₂ に内分する筈です。
此れで、接点の 座標が求まります。
次に、2円に接する接線を考え、この接線と接点との距離が、求める長さになりませんかね。
（解り易い具体的な数字でないと、かなり複雑な式になりそうですが。）