円の接線について教えてください

x^2 + y^2=r^2 上の点(a,b)における接線の公式はax+by=r^2だと思うんですが、これはx,yの片方だけにそれぞれa,bを代入しただけの式と理解していいんでしょうか？

No.3 回答者： zabuzaburo 回答日時： 2002/12/13 21:52

放物線の場合も、(実用性はともかくとして)

実は同じように考えることができます。

最も簡単な場合として、放物線「y = x^2」上の
点(a, b)における接線の方程式を求めてみましょう。

y をむりやり「『y / 2』が2つ」と見れば、
(y / 2) + (y / 2) = x・x
です。xのひとつをaに、yのひとつをbに形式的に置き換えると、
「(b / 2) + (y / 2) = a・x」
となります。これを整理すると
「y = 2ax - b」となり、これが接線の方程式です。

ホントかって？
微分をご存知なら簡単に確認できます。

「x^2」を微分してaを入れると、接線の傾きは2aであり、
これが点(a, b)を通ることから、接線の方程式は
「y - b = 2a(x - a)」、整理して
「y = 2ax + (b - 2・a^2)」 となります。
いま、a^2 = b ですから、これは
「y = 2ax - b」と同じことです。

No.2 回答者： fushigichan 回答日時： 2002/12/13 17:04

こんにちは！

＞x^2 + y^2=r^2 上の点(a,b)における接線の公式はax+by=r^2だと思うんですが、これはx,yの片方だけにそれぞれa,bを代入しただけの式と理解していいんでしょうか？

覚え方としては、それでいいと思います。
どうして、そうなるかというと

x^2+y^2=r^2
この両辺をｘで微分しますと、
2x+(dy/dx)*2y=0
dy/dx=-x/y
となるので、点(a,b)における接線の傾きは-a/bとなります。

したがって、点(a,b)を通り、傾き-a/bの直線が接線になるので、その方程式は

y-b=-a/b*(x-a)
by-b^2=-ax+a^2
ax+by=a^2+b^2=r^2　・・・・接線の方程式

分かりやすくそうやっておぼえるのはいいと思います。頑張ってください。

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/12/13 00:38

形式的理解(覚え方)としては良いと思います.

なぜなら,その覚え方はそのまま次の場合に適用できて,

一般に, 楕円(＋のとき),双曲線(－のとき)を含めて
(x－x0)^2／A^2 ±(y-y0)^2／B^2＝1 [A,Bは正の定数]
上の接点(a,b)における接線は
(a-x0)(x－x0)／A^2 ±(b-y0)(y-y0)／B^2＝1
です.
(なお,放物線はちょっと違いますね)