上の大問の(1)(2)(3)についてです。 私は数Ⅲが得意ではないのですが、授業で前にたって説明しな

上の大問の(1)(2)(3)についてです。
私は数Ⅲが得意ではないのですが、授業で前にたって説明しなければならないので、何か突っ込まれそうな所も含めて解説をしていただけるとうれしいです。
よろしくお願いいたします。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/28 14:04

＃２３です

そもそも、C2上の点(s²/a,-s)の接線を考える必要はありませんでした
というのも、
C2上の点(s²/a,s)のsが+の数値なら、C2のx軸より上側部分の接線、
ｓがマイナスの数値なら、C2のx軸より下側部分の接線
という事になるんで、C2のx軸より下側部分における接線を考えると言うつもりで用意した(s²/a,-s)は不要という事です
すみませんでした。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/27 17:00

#2訂正

次に、C2上の点(s²/a,-s)における接線は
y=(a/-2s)(x-s²/a)-s＝(-a/2s)x-s/2…⑤
①⑤が一致する条件は
1/t=-a/2s・・・⑥'
logt-1=-s/2…⑥
⑥'に⑥を辺々掛け算
(1/t)(logt-1)=a/4
a=(4/t)(logt-1)・・・結局上記のものと一致
（なおC2上(0,0)における接線はy軸(x=0),c1はy軸が漸近線だからy軸は共通接線ではないので、y軸からはaとtの関係は導かれない）
以上から、a=(4/t)(logt-1)

（３）a=(4/t)(logt-1)のグラフを#2に示した要領で描く
「a-tのグラフはt＝０近辺から右に視線を移していくと
a<0で始まり、t=eでa軸と交わり、その後はa>0となる
t=e²で極大値（a=4/e²）をとり、後はa=0に近づいていく」
a軸より上の部分について
便宜上a=k(kは正の実数）とおいて、この水平ラインとa=(4/t)(logt-1)のグラフの交点を調べる
0<k<(4/e²)では交点2個
k=(4/e²)では交点1個
(4/e²)<kでは交点0個
k=aだから置き換えると
0<a<(4/e²)では交点2個
a=(4/e²)では交点1個
(4/e²)<aでは交点0個
交点の数だけtがある
tは接点Pのｘ座標だが、ｘ座標が異なれば接線も異なる
ゆえに交点の数だけ接線がある
∴0<a<(4/e²)では接線2本
a=(4/e²)では1本
(4/e²)<aでは０

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/10/27 18:01

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/27 15:56

(1)

f(x)=logxとおくと
f'(x)=1/x
PにおけるLの傾きは
f'(t)=1/t
傾き1/tで点(t,logt)を通る直線の式は
y-logt=(1/t)(x-t)
⇔y=(1/t)x+logt-1…①

(2)
y²=axの両辺をxで微分する
ただし便宜上u=y²とおいて
定理：du/dx=(du/dy)(dy/dx)を利用
du/dy=2yだから
左辺＝(d/dx)y²＝du/dx=(du/dy)(dy/dx)=2y(dy/dx)
右辺=(ax)'=a
ゆえに(dy/dx)＝a/2y (ただしy≠0)
このことから、C2上の点(s²/a,s)における接線は
y=(a/2s)(x-s²/a)+s＝(a/2s)x+s/2…②
①②が一致する条件は
1/t=a/2s…③
logt-1=s/2⇔s=2logt-2…④
③④より
1/t=a/(4logt-4)
a=(4/t)(logt-1)
次に、C2上の点(s²/a,-s)における接線は
y=(a/2s)(x-s²/a)-s＝(a/2s)x-3s/2…⑤
①⑤が一致する条件は
③および
logt-1=-3s/2…⑥
③に⑥を辺々掛け算
(1/t)(logt-1)=-3a/4
a=(-4/3t)(logt-1)
（なおC2上(0,0)における接線はy軸(x=0),c1はy軸が漸近線だからy軸は共通接線ではないので、y軸からはaとtの関係は導かれない）
以上から、a=(4/t)(logt-1)またはa=(-4/3t)(logt-1)


(3)a=(4/t)(logt-1)…⑦をa-tの関数とみなしてtで微分
・・・{f(x)g(x)}'= f′(x)g(x) + f(x)g'(x)を利用・・・
a'=(4/t)'(logt-1)+(4/t)(logt-1)’
＝(-4/t²)(logt-1)+(4/t²)
=(-4logt+8)/t²
a'=0とすると,-4logt+8=0
logt=2
t=e²
よって増減表を書くと（ｔが大きくなるほど、-4logtは小さくなるから）
ｔ＝e²を境にa'がプラスからマイナスに変わることが分かる（t=e²で⑦は極大）
tはＣ１上の点Ｐのｘ座標だから ｔ>0
⑦の極大値はt=e²を⑦へ代入して、a=(4/e²)
⑦でa=0となるのは、0=(4/t)(logt-1）
⇔logt-1=0
ｔ＝e
またLim(t→∞)logt/t=0よりLim(t→∞)(4/t)(logt-1)=0-0=0
このことからa-tのグラフはt＝０近辺から右に視線を移していくと
a<0で始まり、t=eでa軸と交わり、その後はa>0となる
t=e²で極大値（+の値）をとり、後はa=0に近づいていく
従って、0<a≦4/e²で共通接線①②は一致して存在、すなわちこの共通接線を1本としてカウントできる
4/e²<aでこの共通接線は存在しないから1本とはカウントできない
この①②が一致するaの範囲を(ⅰ)とする

同じ要領で①⑤が一致するaの範囲を求める・・・このaの範囲を(ⅱ)とする
求めた範囲について場合わけして
ⅰ、ⅱの共通範囲では接線2本
共通範囲ではないⅰまたはⅱのaの範囲については接線1本
1または2の範囲　から外れるaの範囲では接線0本

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/10/27 15:53

(1)

(logx)'=1/xなので、lの方程式は、y=(1/t)(x-t)+logt
整理して、y=(1/t)x+logt-1…答

(2)
lの式をxについて解くと、x=ty-tlogt+tとなり、これをC2の式に代入すると、
y²=a(ty-tlogt+t)
となり、これを整理すると、
y²-aty+at(logt-1)=0　※

lとC2が接するから、※は重解をもつ。よって、
判別式D=a²t²-4at(logt-1)=0

at≠0であるから両辺をatで割って、
at-4(logt-1)=0
∴a=4(logt-1)/t…答

(3)
t>0の下でa=4(logt-1)/tを満たすaの数を求めればよい。
それは、f(t)=4(logt-1)/tとおいたときのy=f(t)のグラフとy=aのグラフ（横の直線）の交点の数と等しい。

f'(t)=4(2-logt)/t²=0の解はt=e²であるから、増減表（省略）を書いてグラフを描くと下図のようになる。
（t=e²のとき、極大値4/e²を持つ）

このグラフを踏まえると、求める本数は、

0<a<4/e²のとき、2本（交点の数が2個）
a=4/e²のとき、1本（交点の数が1個）
4/e²<aのとき、0本（交点の数が0個）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/10/27 18:01