２次方程式の問題なんですが

x＾2ー2px＋p＋2=0

2つの解がともに１より大きい時のpの範囲を求めよ

このとき方なんですが
2解をα、βと起き
解と係数の関係より
(α-1)＋(β-1)＞０
したがってP＞１・・・(1)

(α-1)(β-1)＞０
したがってＰ＜３・・・(2)

この後判別式で
解を持つ範囲を出して(1)、(2)との共通範囲が答えなんですが
ここで質問です
なぜ判別式で解を持つときを求めないとだめなんでしょうか？
上記の解と係数の関係で２解がともに１より大きい場合を出しています
ならわざわざ判別式をやる必要がないような気がするんですが・・・

質問がわかりづらく申し訳ありません
疑問点などありましたら補足で答えさせていただきます
よろしくお願いします！

No.7 回答者： dormitory 回答日時： 2012/03/08 21:44

実数解がともに1より大きいということは、放物線の形は大まかでも良いので、xy-平面のx軸の正の部分に、且つ1より大きい範囲でx軸と放物線の交点がある、ということです。

これを大まかに図に書けば、二次関数で学んだように、D≧0が成り立ちます。グラフはそれほど正確でなくても良いです。ただ、問題で問われている事から、さっと二次方程式→二次関数に置き換えて、判別式Dの値の見当をつければ良い。放物線とx軸との関係からは、D＞0、D=0、 D＜0の三つの場合しかありません。問われている内容と条件から、これら三つのどの「場合」にあてはまるか考えるのです。

また、ferien様のご回答にあるように、判別式Dだけでは、足りません。

何か偉そうにすいません。頑張って下さい。

No.6 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/08 14:11

ANO.4です。

補足の質問についてですが、

先ほどの問題で、１つの解は３より大きくほかの解は３より小さい
α＞３＞β
(αー３)(βー３)＜０より
Ｐ＞11/5
重解はないのはわかるんですが、これも解を二つは持つという条件の下で出る範囲だと思うんです。
＞なぜＤ＞０はしないでいいのでしょうか？

答えは、Ｄ＞０から出てくる条件２＜ｐとＰ＞11/5の共通部分と考えればいいのではないでしょうか？
解と係数の関係だけでは、（今の問題のように）必ず解をもつ条件が出てくるとは言えないので、
解説書に書かれていなくても、判別式の条件（Ｄ≧０）も調べるようにしたらいいと思いますが、
どうでしょうか？

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/08 11:45

＞なぜ判別式で解を持つときを求めないとだめなんでしょうか？

グラフを書けば分かるだろう。
y＝x＾2ー2px＋p＋2＝(x-p)＾2+p＋2-p＾2　がx軸と2つの交点を持たなければならないから、頂点のy≦0
これは、判別式≧0に該当する。

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/07 21:19

2解をα、βと起き

解と係数の関係より
(α-1)＋(β-1)＞０
したがってP＞１・・・(1)

(α-1)(β-1)＞０
したがってＰ＜３・・・(2)

この後判別式で
解を持つ範囲を出して(1)、(2)との共通範囲が答えなんですが
ここで質問です
＞なぜ判別式で解を持つときを求めないとだめなんでしょうか？

ｙ＝x＾2ー2px＋p＋2のグラフを描いてみると分かります。
（１）（２）から、１＜ｐ＜３という条件が出てきますが、
例えば、ｐ＝１.５のときは、グラフはｘ軸と交わりません。
だから、解を持たないことになります。
判別式Ｄ＞０も条件にいれると、２＜ｐ＜３となり
問題の条件をみたします。
（ｐが３以上になると１つの解が１以下になります。）

グラフを描いてみると分かるので、試してみて下さい。

この回答への補足

皆さん解答ありがとうございます！
なんか数学って細かいですよね・・・
どこまで証明すればいいのかわからないときがほとんどです

それはそうと
もう一つ質問したいことがありました＞＜
先ほどの問題で、１つの解は３より大きくほかの解は３より小さい
α＞３＞β
(αー３)(βー３)＜０より
Ｐ＞11/5
重解はないのはわかるんですが、これも解を二つは持つという条件の下で出る範囲だと思うんです。
なぜＤ＞０はしないでいいのでしょうか？
グラフを書いてみたんですが、いまいちわからないです。
何度も申し訳ありません
よろしくお願いします。

補足日時：2012/03/08 00:58

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/07 20:54

(1)(2) の式を立てる前提として

実数解 α,β の存在を仮定しているから、
その時点で、既に 判別式≧0 は仮定している。
質問文中の書き方だと、話の順番が前後して
解りにくいが、判別式の条件は
後から付け加えた訳ではなく、
それを最初に仮定しないと
(1)(2) は出てこないのだ。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/03/07 20:47

こんばんわ。

＞この後判別式で
＞解を持つ範囲を出して(1)、(2)との共通範囲が答えなんですが
解答の流れとしては「この後」かもしれませんが、
条件としては (1)式の内容も (2)式の内容も判別式も「並列」で並べられる条件です。
数学の言葉でいえば、「(1)式 かつ (2)式 かつ 判別式」ということです。

「2つの解がともに」となっている時点で、解が存在しなければなりませんよね。
正確には、解が「実数解」であることを言ってからですが。
ですので、解答の流れとしては先に判別式の条件があってもいいのでは？と思います。

No.1 回答者： dormitory 回答日時： 2012/03/07 19:49

方程式x^2-2px+p+2=0 を

関数f(x)=x^2-2px+p+2 とみると、二つの異なる実数解がともに1より大きいならば、放物線の座標平面上に於ける位置の見当がつきますから。
となると、判別式で式の係数や定数の不等式が導かれる、という事では無いでしょうか。