dポイントプレゼントキャンペーン実施中!

x^2ー2px+p+2=0

2つの解がともに1より大きい時のpの範囲を求めよ

このとき方なんですが
2解をα、βと起き
解と係数の関係より
(α-1)+(β-1)>0
したがってP>1・・・(1)

(α-1)(β-1)>0
したがってP<3・・・(2)

この後判別式で
解を持つ範囲を出して(1)、(2)との共通範囲が答えなんですが
ここで質問です
なぜ判別式で解を持つときを求めないとだめなんでしょうか?
上記の解と係数の関係で2解がともに1より大きい場合を出しています
ならわざわざ判別式をやる必要がないような気がするんですが・・・

質問がわかりづらく申し訳ありません
疑問点などありましたら補足で答えさせていただきます
よろしくお願いします!

A 回答 (7件)

実数解がともに1より大きいということは、放物線の形は大まかでも良いので、xy-平面のx軸の正の部分に、且つ1より大きい範囲でx軸と放物線の交点がある、ということです。

これを大まかに図に書けば、二次関数で学んだように、D≧0が成り立ちます。グラフはそれほど正確でなくても良いです。ただ、問題で問われている事から、さっと二次方程式→二次関数に置き換えて、判別式Dの値の見当をつければ良い。放物線とx軸との関係からは、D>0、D=0、 D<0の三つの場合しかありません。問われている内容と条件から、これら三つのどの「場合」にあてはまるか考えるのです。

また、ferien様のご回答にあるように、判別式Dだけでは、足りません。

何か偉そうにすいません。頑張って下さい。
    • good
    • 0

ANO.4です。

補足の質問についてですが、

先ほどの問題で、1つの解は3より大きくほかの解は3より小さい
α>3>β
(αー3)(βー3)<0より
P>11/5
重解はないのはわかるんですが、これも解を二つは持つという条件の下で出る範囲だと思うんです。
>なぜD>0はしないでいいのでしょうか?

答えは、D>0から出てくる条件2<pとP>11/5の共通部分と考えればいいのではないでしょうか?
解と係数の関係だけでは、(今の問題のように)必ず解をもつ条件が出てくるとは言えないので、
解説書に書かれていなくても、判別式の条件(D≧0)も調べるようにしたらいいと思いますが、
どうでしょうか?
    • good
    • 0

>なぜ判別式で解を持つときを求めないとだめなんでしょうか?



グラフを書けば分かるだろう。
y=x^2ー2px+p+2=(x-p)^2+p+2-p^2 がx軸と2つの交点を持たなければならないから、頂点のy≦0
これは、判別式≧0に該当する。
    • good
    • 0

2解をα、βと起き


解と係数の関係より
(α-1)+(β-1)>0
したがってP>1・・・(1)

(α-1)(β-1)>0
したがってP<3・・・(2)

この後判別式で
解を持つ範囲を出して(1)、(2)との共通範囲が答えなんですが
ここで質問です
>なぜ判別式で解を持つときを求めないとだめなんでしょうか?

y=x^2ー2px+p+2のグラフを描いてみると分かります。
(1)(2)から、1<p<3という条件が出てきますが、
例えば、p=1.5のときは、グラフはx軸と交わりません。
だから、解を持たないことになります。
判別式D>0も条件にいれると、2<p<3となり
問題の条件をみたします。
(pが3以上になると1つの解が1以下になります。)

グラフを描いてみると分かるので、試してみて下さい。

この回答への補足

皆さん解答ありがとうございます!
なんか数学って細かいですよね・・・
どこまで証明すればいいのかわからないときがほとんどです

それはそうと
もう一つ質問したいことがありました><
先ほどの問題で、1つの解は3より大きくほかの解は3より小さい
α>3>β
(αー3)(βー3)<0より
P>11/5
重解はないのはわかるんですが、これも解を二つは持つという条件の下で出る範囲だと思うんです。
なぜD>0はしないでいいのでしょうか?
グラフを書いてみたんですが、いまいちわからないです。
何度も申し訳ありません
よろしくお願いします。

補足日時:2012/03/08 00:58
    • good
    • 0

(1)(2) の式を立てる前提として


実数解 α,β の存在を仮定しているから、
その時点で、既に 判別式≧0 は仮定している。
質問文中の書き方だと、話の順番が前後して
解りにくいが、判別式の条件は
後から付け加えた訳ではなく、
それを最初に仮定しないと
(1)(2) は出てこないのだ。
    • good
    • 0

こんばんわ。



>この後判別式で
>解を持つ範囲を出して(1)、(2)との共通範囲が答えなんですが
解答の流れとしては「この後」かもしれませんが、
条件としては (1)式の内容も (2)式の内容も判別式も「並列」で並べられる条件です。
数学の言葉でいえば、「(1)式 かつ (2)式 かつ 判別式」ということです。

「2つの解がともに」となっている時点で、解が存在しなければなりませんよね。
正確には、解が「実数解」であることを言ってからですが。
ですので、解答の流れとしては先に判別式の条件があってもいいのでは?と思います。
    • good
    • 0

方程式x^2-2px+p+2=0 を


関数f(x)=x^2-2px+p+2 とみると、二つの異なる実数解がともに1より大きいならば、放物線の座標平面上に於ける位置の見当がつきますから。
となると、判別式で式の係数や定数の不等式が導かれる、という事では無いでしょうか。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!