3項間の漸化式を特性方程式で解くとき、解に1が含まれる場合は階差数列を利用して解くらしいですが、 他

3項間の漸化式を特性方程式で解くとき、解に1が含まれる場合は階差数列を利用して解くらしいですが、

他に簡単な解き方はありませんか？

2つある特性方程式の中の一つは解に1が含まれるため使えないとしても、
もう一方でなんとか基本型に帰着させるなど...

教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/18 22:13

受験産業で「3項間の漸化式」と呼んでいるものを、

数学では「2次斉次線型漸化式」と呼びます。
まあ、そういうヲタクな話は置いといて...

漸化式 a[n+2] + B a[n+1] + C a[n] = 0 を解くとき、
方程式 x^2 + B x + C = 0 の解を x = α, β として
漸化式が a[n+2] - α a[n+1] = β( a[n+1] - α a[n] ),
a[n+2] - β a[n+1] = α( a[n+1] - β a[n] ) と
2通りに変形できることを利用して、等比数列の一般項
を求める問題に帰着するのでした。 このとき、
a[n+1] - α a[n], a[n+1] - β a[n] という
2つの等比数列が登場します。

特性方程式が解 1 を持つというのは、α, β の
どちらかが 1 だということなので、上記の解法を使うとき
等比数列 a[n+2] - 1・a[n+1] が登場するのでした。
これって、a[n] の階差数列ですよね。
特性根 1 があるときは階差数列が使える、これを覚えとこ...
とかいう話ではなくて、上の解法でたまたま根が 1 になった
だけのことなので、特別の方法として覚える必要はないのです。
普通に、上記の解法で解けばよいです。

この回答へのお礼

2次斉次線型漸化式...かっこいいですね！！！
ご回答ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/18 22:17

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/18 18:54

あなたのいう「3項間の漸化式」って, どういうもの?

「解に 1 が含まれる」ってどういうこと?

「2つある特性方程式」の「2つ」って, 何と何?

「基本形」ってどんな形?