不定方程式について 不定方程式を解く上で合同式を利用した解法があると思いますが、合同式を使って解けな

不定方程式について

不定方程式を解く上で合同式を利用した解法があると思いますが、合同式を使って解けない不定方程式はありますか？
また、
155 x + 42 y = 1
この不定方程式を合同式で解いていただきたいです。

No.6 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/10/26 11:08

合同式でのやり方の1つとして：

155＝140＋14＋1より
155≡1（mod7）、42≡0（mod7）と方程式より
ｘ≡1（mod7）・・・①
また
155＝120＋36－1より155≡－1（mod6）42≡0（mod6）これと方程式
から
－ｘ≡1（mod6）・・・②
①×6＋②×7で
－ｘ≡13（mod42）ｘ≡-13(mod42)

これから　ｘ＝42ｋ－13　これを方程式に代入して
　　　　　ｙ＝－155ｋ＋48　ｋは任意の整数
が答です。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/26 10:48

155x+42y=1…(1)

155x+42y=1(mod42)
155x=1(mod42)
155=42*4-13だから
(42*4-13)x=1(mod42)
-13x=1(mod42)
(-13)(-13)x=-13(mod42)
(-13)^2=169=42*4+1だから
(42*4+1)x=-13(mod42)
x=-13(mod42)
kを整数とすると

x=42k-13

↓これを(1)に代入すると
155(42k-13)+42y=1
155*42k-155*13+42y=1
42y=-155*42k+2016
42y=-155*42k+42*48
y=-155k+48
∴
x=42k-13
y=-155k+48

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/10/25 21:07

パソコンで 逐一書くのは面倒なので、下記を参考にして。

https://hibikore-tanren.com/congruent-expression …

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/25 20:10

155x+42y=1…(1)

x,yを整数とする
155を42で割ると商3余り29だから
155=42*3+29
155-42*3=29…(2)
42を29で割ると商1余り13だから
42=29+13
42-29=13…(3)
29を13で割ると商2余り3だから
29-13*2=3…(4)
13を3で割ると商4余り1だから
13=3*4+1
13-4*3=1
↓これに(4)を代入すると
13-4(29-13*2)=1
9*13-4*29=1
↓これに(3)を代入すると
9(42-29)-4*29=1
42*9-13*29=1
↓これに(2)を代入すると
42*9-13(155-42*3)=1
42*48-155*13=1
155(-13)+42*48=1
↓これと(1)から
x=-13(mod42)
x=29(mod42)
y=48(mod155)

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/10/25 18:14

たとえば　153 x + 42 y = 1　は合同式で解けないです。

なぜかというとこの不定式にはもともと解がないからです。
つまり合同式で解けるのは不定式に解がある時だけです。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/25 17:53

手を変えた「宿題やって呉れ」か。

自分でやれ！