微分方程式の問題です

y"-x/(x-1)y'+1/(x-1)y=x-1　の同次式の基本解はX,e^xと示されていました。
特性方程式　λ＾2-ｘ/（ｘ-1）λ+1/（ｘ-1）＝0と置くと、別の解になります。
質問です
1・基本解ｘとe^xの導き方
2・前述の特性方程式の考え方の間違っている点
以上お願いいたします。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/05 17:30

訂正

1.で
「で、y''を満たす。」 → 「で、y''=0 を満たす。」

2.で
「y''=y'=y となる解を求めると」
→ 「y''=y'=y となる解を求めると、微分方程式を満たすので」

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/05 17:26

1.

x,e^xを式入れればよいだけですが、多少。
y''=0 となる解を求めると
　-{x/(x-1)}y'+y/(x-1)=0 → xy'=y → y=Cx
で、y''を満たす。

また、y''=y'=y となる解を求めると
　y=Ce^xを得る。

後出しですが。

2.
特性方程式は解が y=e^(λx)、λ=定数、として求めている。
つまり、λが定数でなければ、特性方程式は出ない。

この回答へのお礼

ご丁寧にも、訂正と称する追加説明までも頂き有難うございました。

お礼日時：2023/06/05 18:48