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二次方程式x^2+2(m-1)x+1=0が異なる二つの負の解をもつように、定数mの値の範囲を求めよ。
とあるのですが
①判別式をDとしたとき、D>0
②軸>0
③f(0)>0
を成り立たせたのですが、
③の所で、f(0)=1>0となり、すべての実数で成り立つとなったのですが、なんですべての実数で成り立つのかがわかりません。

質問者からの補足コメント

  • すいません、②は、軸<0です

      補足日時:2017/03/09 14:48
  • 質問の仕方が悪かったです!ほかの問題とかで③のようなとこがf(0)=1<0となったときは、すべての実数じゃなくて、どうやって表せばいいのですか?

      補足日時:2017/03/09 14:59

A 回答 (10件)

補足について



2次方程式の解は以下の様に分類されます。
分岐Ⅰ 判別式Dの符号(当然ax^2+bx+c=0のb^2-4acの符号で決まる)
 ├ア D<0:実数解なし 例:x^2+x+1=0 → D=1^2-4*1*1=1-4=-3<0
 │  ※実数解が無いのでこれ以上分岐を考える必要はありません。
 ├ D=0:実数解1つ(頂点のx座標がそのまま解となります)
 │ └分岐Ⅱ-A 頂点のx座標Xの符号(ax^2+bx+c=0のb/aの符号で決まる)
 │  ├イ X>0:解は正の値 例:x^2-2x+1=0 → D=4-4=0 (x-1)^2=0 X=x=1>0
 │  ├ウ X=0:解は0    例:x^2=0 → D=0-0=0 X=x=0
 │  └エ X<0:解は負の値 例:x^2+2x+1=0 → D=4-4=0 (x+1)^2=0 X=x=-1<0
 └ D>0:実数解2つ(解の内最低1つは頂点のx座標と符号が等しい)
   └分岐Ⅱ-B
    ├ X>0:解に正の値が含まれる
    │ └分岐Ⅲ-A x=0の時の「yの値f(0)と頂点のy座標Y」の符号
    │  │  (ax^2+bx+c → (x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2 より
    │  │   f(0)=c,Y=b^2-4ac なので b^2/c-4a の符号で決まる)
    │  ├オ f(0)とYの符号が等しい:2つの解は符合が異なる
    │  │   例:x^2-2x-3=0 → D=4+12>0 (x-1)^2=y+4
    │  │     X=1>0 Y=-4 f(0)=-3 x=1±2=-1,3
    │  └カ f(0)とYの符合が異なる:2つの解は符号が等しい=2つとも正の値
    │      例:x^2-4x+3=0 → D=16-12>0 (x-2)^2=y+1
    │        X=2>0 Y=-1 f(0)=3 x=2±1=1,3 
    ├ X=0:2つの解は正の値と負の値が1つずつ含まれ、その絶対値は等しい
    │  例:x^2-1=0 → D=0+4>0 x^2=1 X=0 Y=f(0)=-1 x=±1
    │  ※X=0なのでf(0)=Yであり、当然符合は一致します。よって分岐させる必要なし。
    └ X<0:解に負の値が含まれる
      └分岐Ⅲ-B
       ├キ f(0)とYの符号が等しい:2つの解は符合が異なる
       │   例:x^2+2x-3=0 → D=4+12>0 (x+1)^2=y+4
       │     X=-1<0 Y=-4 f(0)=-3 x=-1±2=-3,1
       └ク f(0)とYの符合が異なる:2つの解は符号が等しい=2つとも負の値
           例:x^2+4x+3=0 → D=16-12>0 (x+2)^2=y+1
             X=-2<0 Y=-1 f(0)=3 x=-2±1=-3,-1

解の条件を考える時はこれらの場合わけを考えますが、
考えるまでもなく当然の事ながら1<0となるものはありません。
f(0)=1<0という条件にmどころか変数が一切関与していないからです。
よって、そのような条件を満たす解は存在しないので、解なしとなります。
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一度 グラフを書いてください!点(0,1)を通る下向きの二次方程式で、負の2解を持つような二次曲線を書いてください!そうすれば、

xの定義域は、全ての実数になるでしょう!勘違いですみません!
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mが決まってないので、D>0 →異なる2解 で全ての実数が範囲でしょうが?


軸<0 … 解が少なくとも1つは負
f(0)=1 >0 …解が両方とも符号が同じ つまり、( +,+) または(ー,ー)
これに、x^2の係数が正の条件とで、2解が共に負になります。

ただし、mが如何なる数字を取ろうと、点(0,1)を通る二次曲線になり、
x の範囲は、x=0 は無理ですので、xの定義域は、0を除く全ての実数でしょう!
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二次方程式において、判別式D>0 ならば、mが固定されておらず、mの値を自由に動かせることにより、x軸と2点で交われることで、全ての実数で成り立ちますが、ここでは、異なる負の解なので、その条件として


(この二次方程式は、x^2の係数が正なので、下向きのグラフで、)
軸<0 かつ、y軸との交点=f(0)>0 の条件が追加になります。

尚 D=0 は重解、D<0 は虚数となり実数解はなく グラフでもx軸と交点はありません!
軸<0 は、少なくとも1つの解は、負であるだけで、正の解もあり得るので、
f(0)>0 の条件の追加で、2解とも負になります。
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No.2です。

頂点の座標の符号が間違っていましたね。お恥ずかしい。

下記のように訂正します。

基本は
 y=f(x)
のグラフが、x<0 の範囲で x 軸と交わるということです。

そのためには、下記の3つの条件をすべて満たすことが必要。
(1)頂点の y 座標<0  ← 実は、これは① D>0 と等価です。
(2)頂点の x 座標<0   →これは 軸<0 ということなので「②軸>0」は間違いです。
(3)y切片>0 ←これは「軸<0 」であれば「x<0 で x 軸と交わる」ための必要条件です。③f(0)>0 と等価です。


y=f(x) のグラフは、

y = [ x + (m - 1) ]^2 - (m - 1)^2 + 1
 = [ x + (m - 1) ]^2 - m^2 + 2m

より、頂点が ( -m + 1, -m^2 + 2m) の、下に凸(上に開いた)の放物線です。  ←このx座標が間違いだった

(1) は
 - m^2 + 2m < 0

これは
 D = 4(m - 1)^2 - 4 > 0
と等価です。

つまり
 m(m - 2) > 0
よって
 m < 0 または 2 < m   ①

(2) は
 -m + 1 < 0
よって
 1 < m     ②  ←これを訂正

(3) は、おっしゃるとおり、常に成り立つ。

従って、(1)(2)(3) の共通範囲は
  2 < m     ←これも訂正
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失礼しました。

頂点の所符号間違えてますね。
y=(x+m-1)^2-(m-1)^2+1
y+(m^2-2m)=(x+m-1)^2
↑ここがマイナスになってました
なので頂点は(1-m,2m-m^2)ですね。
じゃないと「D>0の条件=実数解が存在する条件=頂点のy座標が(下に凸のグラフなので)負となる条件」に矛盾してしまいますから(汗

Dの方で条件を出している為、直接mには影響しない所ですけど、間違えてますので訂正しておきます。
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異なる2つの負の解を持つ条件は、


①解が2つの実数である=判別式D>0
②解に負の値が含まれる=グラフの頂点がy軸より左(頂点のx座標<0)にある
③2つの解の符号が等しい=下に凸のグラフ(x^2の係数が+)なので、x=0の時y>0
ですね。

D=4(m-1)^2-4=4m^2-8m+4-4=4m(m-2)>0
よってm<0,2<m

y=(x+m-1)^2-(m-1)^2+1
y-(m^2-2m)=(x+m-1)^2
頂点の座標は(1-m,m^2-2m)
よって1-m<0→1<m

x=0の時
y=1
つまりmの値によらずx=0の時y=1となるわけです。
何故かと言われると式を見れば明らかと言わざるを得ないのですが、
y=Ax^2+Bx+Cのグラフはx=0の時必ずy=Cとなります。
Cが定数項であり、他の定数項が無い為、これは確定です。

表現を変えるならば、
y=x^2+2(m-1)x+1のグラフは
y=(x^2-x+1)+2mxとなります。
Y=(x^2-x+1)というグラフは形が決まっていますね。
そのグラフ+2mxという変化を加えたものがy=(x^2-x+1)+2mxです。
これはxの値に比例して増減する値が変化しますが、x=0の時は2mx=0であり変化しません。
つまり、mの値によらずx=0の時y=(x^2-x+1)+2mxとY=(x^2-x+1)は共に=1となるのです。

分かったでしょうか?
分かりにくければ他の説明を考えるので、また聞いてください。
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③だけ成り立っても、いったい①②の条件はどこに行ったのですか? (しかも②は違っている)



基本は
 y=f(x)
のグラフが、x<0 の範囲で x 軸と交わるということです。

そのためには、下記の3つの条件をすべて満たすことが必要。
(1)頂点の y 座標<0  ← 実は、これは① D>0 と等価です。
(2)頂点の x 座標<0   →これは 軸<0 ということなので「②軸>0」は間違いです。
(3)y切片>0 ←これは「軸<0 」であれば「x<0 で x 軸と交わる」ための必要条件です。③f(0)>0 と等価です。


y=f(x) のグラフは、

y = [ x + (m - 1) ]^2 - (m - 1)^2 + 1
 = [ x + (m - 1) ]^2 - m^2 + 2m

より、頂点が (m - 1, -m^2 + 2m) の、下に凸(上に開いた)の放物線です。

(1) は
 - m^2 + 2m < 0

これは
 D = 4(m - 1)^2 - 4 > 0
と等価です。

つまり
 m(m - 2) > 0
よって
 m < 0 または 2 < m   ①

(2) は
 m - 1 < 0
よって
 m < 1     ②

(3) は、おっしゃるとおり、常に成り立つ。

従って、(1)(2)(3) の共通範囲は
  m<0
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それは、すべての実数mについてf(0)=1>0となるから、③は考えなくてよいということです。


だから、①D>0、②軸<0(>0ではありません)がなりたつmを求めよ、ということです。
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(-2(m-1)±√(4(m-1)²-4))/2>0



-(m-1)+√(m²-2m)>0
-(m-1)-√(m²-2m)>0

この時点で(m²-2m)=m(m-2)>0でないと、実数解は存在しないことになる。
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>インターネットに書かれていましたが読んでも理解出来ませんでした。
 
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ここで説明しても、おそらく理解できないと思います。(かなり詳しく説明がありますので。)
(多分、使用されている言葉の意味すら理解できなかったのではないでしょうか。)

Σ を使って数列の総和を求める計算は、多分高等学校の数学で習うと思います。
公式を使って求めるのですが、公式を理解する必要があります。

計算の式だけ書いておきますね。
 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10={10×(10+1)}/2=110/2=55。
 一般的には、1からn までの足し算の答は Σ=n(n+1)/2 になります。
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 一般的には(等差級数の場合)項数を n 、初項を a 、末項を b とすると Σ=n(a+b)/2 となります。
(実際には Σ の上下に計算の範囲を示す記号が入ります。)

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>インターネットに書かれていましたが読んでも理解出来ませんでした。
 
質問者様は何年生でしょうか。質問文から想像すると中学生以下と思いますが。
ここで説明しても、おそらく理解できないと思います。(かなり詳しく説明がありますので。)
(多分、使用されている言葉の意味すら理解できなかったのではないでしょうか。)

Σ を使って数列の総和を求める計算は、多分高等学校の数学で習うと思います。
公式を使って求めるのですが、公式を理解する必要があります。

計算の式だけ書いておきますね。
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