-a(a-1)>0の解が0<a<1になる途中式または過程をできるだけわかりやすく解説をお願いします。

-a(a-1)>0の解が0<a<1になる途中式または過程をできるだけわかりやすく解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/10 14:34

-a(a-1)>0　⇔　(( -a>0 かつ (a-1)>0 ) または ( -a<0 かつ (a-1)<0 )).

( -a>0 かつ (a-1)>0 )　⇔　( a<0 かつ a>1 )
　　　　　　　　　　⇔　あてはまる a は無い.

( -a<0 かつ (a-1)<0 )　⇔　　( a>0 かつ a<1 )
　　　　　　　　　　⇔　　0<a<1.
によって

-a(a-1)>0　⇔　((あてはまる a は無い) または (0<a<1))
　　　　　⇔　0<a<1.

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/09/11 14:07

-a(a-1)>0 両辺に -1 を掛けます。

不等号の向きが変わることは 分かりますね。
a(a-1)<0 となります。
2つの積が 負 と云う事は、それぞれが 異符号だ と云う事です。

つまり a>0 ならば a-1<0 → a<1、合わせて 0<a<1 。

逆に a<0 ならば a-1>1 → a>1 ですから、
a<0 と a>1 を同時に満たすことは あり得ません。
従って 0<a<1 が答になります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/09/11 08:08

左辺が2次式の場合

y=-a(a-1)
はaの2次の係数のが負だから、a-yのグラフは上に凸
とすると、yが正になるaは、y=0になる2つのaの内側の範囲内

というのが頭に浮かべば終わり

というのが早いかな。

地道にaと(a-1)が逆符号になる範囲を
調べるのも応用が広くて堅実だと思う。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/09/10 15:54

a がいかなる数であっても、「1 を引いたもの」の方が小さいですから

　a - 1 < a
です。

ということは、a と (a - 1) の関係は、
「-a(a-1)>0」ということは a≠0, a≠1 なので

(1) a - 1 < a < 0
(2) a - 1 < 0 < a
(3) 0 < a - 1 < a

のいずれかです。

(1) のとき、a も (a - 1) も負なので
　a(a - 1) > 0
従って、これに「マイナス」を付けたものは
　-a(a - 1) < 0
これは与式を満足しません。

(2) のとき、(a - 1) は負、a は正なので
　a(a - 1) < 0
従って、これに「マイナス」を付けたものは
　-a(a - 1) > 0
これは与式を成立させます。
従って、
　 a - 1 < 0　より　a < 1
かつ　0 < a なので、このときの a の範囲は
　0 < a < 1

(3) のとき、a も (a - 1) も正なので
　a(a - 1) > 0
従って、これに「マイナス」を付けたものは
　-a(a - 1) < 0
これは与式を満足しません。

以上より、与式を満足する a の範囲は、(2) の
　0 < a < 1