和積・積和の公式について質問です。 自分は毎回加法定理から導いてましたが、 一つだけ覚えてα、βで微

和積・積和の公式について質問です。
自分は毎回加法定理から導いてましたが、
一つだけ覚えてα、βで微分していくと全て出てくるという方法を聞きました。やってみたら確かに出来ました。
そこで聞きたいのですが、なぜ微分すると全部出てくるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/09 17:23

変数α, β が入っている「公式」を

　　f(α,β) = g(α,β)
としますと、その意味は「どんなα, βについてもf(α,β) = g(α,β)である」ということ。つまり公式は恒等式であり、「左辺と右辺は全く同じものだ」と言っている。全く同じなんだから、左辺の導関数と右辺の導関数も当然同じです。たとえば
　　∂f(α,β)/∂α = ∂g(α,β)/∂α
である。そしてこれもまた左辺と右辺は全く同じもの。どんなα, βについても成り立つので、恒等式です。全く同じなんだから、左辺の導関数と右辺の導関数も当然同じです。たとえば
　　∂²f(α,β)/(∂α∂β) = ∂²g(α,β)/(∂α∂β)
である。そしてこれもまた恒等式であり、左辺と右辺は全く同じもの。ですから… 以下同様。


　なお、もし式
　　f(α,β) = g(α,β)
が公式（=恒等式）ではなくて方程式である場合には、その意味は「あるα, βにおいて、この式が成り立つかもしれない」ということ。ご承知の通り、この式が成り立つようなα, βのことをこの方程式の「解」と言う。つまり、左辺と右辺は別々のものであり、ただ、解においてだけ（いわば「たまたま」）同じ値になるに過ぎない。恒等式の場合とは全く事情が違います。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
とても分かりやすかったです。

お礼日時：2024/08/09 18:10

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/09 20:39

暗記術としては、それでもいいんだけれど...

和積・積和の公式は加法定理と同値で、
sin, cos の微分を求めるのには加法定理を経由するから、
教科書等での説明としてその方法を使うと
循環論法だと言ってツッコまれそう。

この回答へのお礼

暗記量は減りますが確かにそうですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2024/08/11 20:36