極限を求める

lim(x→∞)x/e^x　を求めよ。
という問題です。
答えを出そうとしたのですが教科書に決まりとして答えが「0」になると書いてしまっていました。(解説なし)
ここで質問なんですがこの問題を解くときにlim(x→∞)logx/x=0からlogx=tと置いてlim(x→∞)t/e^tを求めるやり方を逆にして解くのがよいのでしょうか？
また、他にいい方法はありませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： hugen 回答日時： 2007/06/25 03:29

y＝e^x　　の　x＝0　　での接線を考えると

e^x＞1＋x＞x　　　　
よって
e^x＞x　　これに　x/2 を代入すると
e^(x/2)＞x/2　　両辺を二乗すると
e^x＞(x/2)^2　　
(e^x)/x＞x/4　　→　∞　　( x →　∞ )　
したがって
x/e^x＝1/{(e^x)/x}　　→　1/∞＝0　　( x →　∞ )　

No.4 回答者： angrox 回答日時： 2007/06/25 20:14

f(x)=x/e^xに限らず、g(x)=x/r^x (r>1)の極限を求めるときは普通テイラーとか、ロピタルを使えば解決するのですがこれらを知らないときは２階微分をしてグラフを書いて確かめる方法があると思います。

f(x)=x/e^xについて考えると、f'(x)=(1-x)/e^x、f''(x)=(x-2)/e^xです。
増減表を書くと、x>2のとき、f'(x)<0、f''(x)>0なので接線の傾きは0に近づきつつ、f(x)の値は減っていくことがわかります。
しかもx>0ならf(x)>0なのでxが大きくなればなるほどf(x)は0に近づくことがわかります。
つまりグラフと増減表からx/e^xのx→∞のときの極限が出せます。
証明というほど厳密なものではないのでテストのときに極限値を忘れた場合の手段としては使えます。

No.2 回答者： Suue 回答日時： 2007/06/24 21:37

もし高校生でしたら、こちらのやりかたが一般的かと思います。

まず、微分を活用して、ｘ＞０のときに
exp(x) ＞　１＋ｘ＋（ｘ＾２）／２　であることを示します。
※　exp(ｘ)　は、　e^x　を表します。

このことを踏まえれば、
０　＜　ｘ／exp(x) 　＜　ｘ／｛１＋ｘ＋（ｘ＾２）／２｝
になります。
最右辺は、分子分母をｘ割れば、ｘ→∞のときに０になることがわかるので、ハサミウチの原理より、ｘ／exp(x)→０が示されます。

しかし、どうして
exp(x) ＞　１＋ｘ＋（ｘ＾２）／２
がわかっているのかというと、No.1の方がすでに出していますが、テイラー展開を知っているからです。

No.1 回答者： bilateraria165 回答日時： 2007/06/24 21:21

I-ryuさんがlim(x→∞)logx/x=0であることを証明できるのならば、

logx=tと置いてlim(t→∞)t/e^tの結果と同じになると思うので、
そのやり方で問題ないと思います。
I-ryuさんが大学生の方であれば、テーラー展開をご存知かと思いますので、
これによってlogxをxのベキ級数にしてx→∞で0になることをすぐに証明できると思います。
あるいは、上の話に全然関係なく、y=x/e^x（あるいはy=logx/x)というグラフを書いてみるのも一つの手かと思います。グラフの形状がわかればx→∞の極限がどのような形になるか推測できると思いますので。