３次関数の最大・最小の問題です

「aは0＜a＜1を満たす定数とする。
0≦x≦1のとき、f(x)=x^3－3a^2xの最大値M(a)を求めよ。」
という問題で、途中まで自分で解いたのですが答えに辿り着かないので
どうやって解いたらいいのか分からないので教えてください。

答えは、0＜a＜√3/3のとき、M(a)=1-3a^2
　　　　√3/3≦a＜1のとき、M(a)=0　　　です。

No.1 回答者： asymptote 回答日時： 2009/05/03 18:37

(1)関数を微分

(2)f`(x)=0とするとx=±a 　　-1<-a<0 　関数の形よりx=- aのとき極大
(3)増減表を書く　xは0≦x≦1　　-1<-a<0 　0<a<1 より　0,a,1の順にとる。すると　f(0)=0 でf(a)が極小となることから最大は0か
f(1)=1-3a^2
(4)場合分け　0<1-3a^2 のとき 0<a<1/√3
0≧1-3a^2 のとき　0<a<1 より　1/√3≦a<1

No.2 ベストアンサー 回答者： tra_tata 回答日時： 2009/05/03 18:50

>> 途中まで自分で解いたのですが答えに辿り着かないので

どこまで自分で解いたのか書いておくべきだとは思うのですが、
ざっと解説します。


f(x)=x^3-(3a^2)x　なので
f'(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)

f'(x)=0で極値を取るので、この場合はx=±aで極値を取る。
関数の概形としては
　-∞<x<-a　単調増加　(∵ f'(x)>0の領域)　…(1)
　-a<x<a　　単調現象　(∵ f'(x)<0の領域)　…(2)
　a<x<∞　　単調増加　(∵ f'(x)>0の領域)　…(3)
となります。

ここで、問題文の条件によりM(a)を考えるのは、0≦x≦1なので
(1)の領域は考えなくて良いことになります。
(2)の領域はx=0が含まれるので考える必要があります。

さらに問題文の条件により、0<a<1なので
x=1が含まれる(3)の領域も考える必要があります。


ここでグラフの概形を書いてみましょう。
0≦x≦a　単調減少
a<x≦1 　単調増加

M(a)はグラフの中の最大値。
グラフを書けば、M(0)=0 か M(1)=1-3a^2
のいずれかであることは視覚的に分かると思います。

どちらが大きいのか。
1-3a^2≧0　の場合は、M(1)
1-3a^2≦0　の場合は、M(0)　です。

1-3a^2≦0　の解は、-√3/3≦a≦√3/3
問題文の条件で、0<a<1であることをあわせて考慮すると、
答えは、0＜a＜√3/3のとき、M(a)=1-3a^2
　　　　√3/3≦a＜1のとき、M(a)=0　　　となります。