【数学】 (1)の問題で単調に増加する範囲をx=3にしてもいい理由が分かりません。注意というところに

【数学】

(1)の問題で単調に増加する範囲をx=3にしてもいい理由が分かりません。注意というところにも書いてあるのですか、いみふめいです。わかりやすく教えてくれると助かります。

質問者からの補足コメント

• 問題はy=x³+3x²-9xです。
  
  あと、x=-3のときです。間違えて記載しました。

    補足日時：2020/04/30 10:47

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/30 13:11

単調増加の定義は、

u < v ならば f(u) < f(v)　が成り立つことが「(狭義)単調増加」
u ≦ v ならば f(u) ≦ f(v)　が成り立つことが「広義単調増加」
です。
単調増加/減少を微分係数の正負と同じことと考えて
しまっている人は多いのですが、単調増加/減少自体は
f が微分不可能どころか不連続でもあっても定義されます。
例えば、f(x) = {x<0のとき}x, {x≧0のとき}x+1 という関数は
不連続ですが、狭義単調増加です。

さて、単調増加の定義に戻って、f(x) = x³+3x²-9x が
x < -3 だけでなく x ≦ -3 の範囲でも(狭義)単調増加である
ことを見てみましょう。
u < v ≦ -3 だとすると、平均値定理より、
u < c < v の範囲に f(v) - f(u) = f’(c)・(v - u) となる c があります。
c < -3 ですから f’(c) > 0 であり、f(v) - f(u) > 0 となります。
単調増加ですね。

平均値定理を覚えるとき、a≦x≦b で連続とか a<x<b で微分可能とか
c の範囲が a<c<b だとか、各不等号に = が付くか付かないかを
いちいち覚えるのが非常に煩わしく感じますが、
その細かい点が、こういうとき効いてくるのです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/30 11:38

極大、極小になる必要条件が

　y' = 0
だということを理解していますか？

y' = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)

ですから、y'=0 になるのが
　x= -3, 1
です。

そのとき「極大」か「極小」かを判定するのが
　y'' > 0 → y' の変化が正 → y' は - → 0 → + に変化している　→　y は極小
　y'' < 0 → y' の変化が負 → y' は + → 0 → - に変化している　→　y は極大
ということです。
y'' = 6x + 6
ですから
　y''(-3) = -12 < 0 なので y は x=-3 で極大
　y''(1) = 12 > 0 なので y は x=1 で極小

これが分かれば、解答に書いてある「増減表」になることが分かりますよね？

右の欄に書いてあるのは、この「y'」つまり「y の接線の傾き」の変化であり、上に書いた y'=0 となる x の値と、そのとき「極大」か「極小」かの判定をしているということです。

x=-3 のとき「極大」と分かれば、それより小さい x で「単調増加」と言えますよね。
生の「y」の形と、その「接線の傾き」である「y'」と、その「接線の傾き」の増減方向を判定するための「y''」の関係をきちんと理解しましょう。